Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán về dẫy số

1. MỞ ĐẦU

1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

       Toán học chiếm vị trí quan trọng trong chương trình học phổ thông nói chung, ở bậc THCS nói riêng. Dạy toán là dạy cho học sinh các phương pháp suy luận khoa học mang tính logic. Học toán tức là rèn luyện khả năng tư duy và ứng dụng nhằm trang bị những vốn kiến thức hoàn chỉnh. Chính vì vậy việc giải các bài toán là phương tiện giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng. Trong chương trình Toán phổ thông có rất nhiều dạng toán khác nhau dành cho các đối tượng học sinh khá giỏi. Nhưng không phải dạng toán nào mà giáo viên đưa ra học sinh cũng đều nắm kiến thức và vận dụng được ngay, nhất là đối với học sinh lớp 6,7 mức độ tiếp thu và khả năng tư duy còn nhiều hạn chế. Vì vậy, người giáo viên cần làm cho học sinh tiếp cận nhiều bài toán ở cùng dạng, đó chính là hình thức giảng dạy theo chuyên đề. Từ đó các em sẽ dần được trang bị hoàn chỉnh về mặt kĩ năng, kĩ xảo trong việc giải toán.

     Qua những năm học tập cũng như giảng dạy, tôi nhận thấy có một nội dung kiến thức tương đối quan trọng đó là: “Dãy số”, các bài tập đưa ra được trải dài ở các khối lớp học. Mặt khác, trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh thường rất ngại mỗi khi có bài toán dãy số đến n phần tử, đôi khi gặp bài toán phức tạp lại không biết bắt đầu từ đâu.

     Do tính đa dạng của Toán học thật khó để đúc kết được các nguyên tắc, dựa vào đó mà tìm ra các “chìa khóa” để giải quyết được mọi vấn đề nêu ra. Tôi thiết nghĩ dạng toán này được khai thác triệt để, thì phạm vi ảnh hưởng của nó cũng như tác dụng là khá lớn.

     Chính vì vậy, tôi mạnh dạn sưu tầm các bài tập để trình bày chuyên đề ”Phương pháp giải các bài toán về dãy số” dành cho các đối tượng học sinh khá, giỏi ở các khối lớp 6 -7.  Trong khuôn khổ cho phép xin trình bày trong phạm vi khối lớp 6, 7. Vì đây là cơ sở quan trọng trong việc hình thành sáng tạo cho học sinh học các lớp cao hơn, bậc cao hơn.

1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

   ”Phương pháp giải các bài toán về dãy số”  với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy số nhất định từ đó hình thành cách giải tổng quát. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất.

        Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này

1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 

       Học sinh lớp 6, 7 trường THCS

1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

          – Tham khảo tài liệu: Tìm tòi, hệ thống các kiến thức thu thập được.

– Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằng nhiều hình thức khác nhau.

– Tổng hợp các phân tích thu thập được

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :

            Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương  pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”. 

     Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng vì:

          + Môn Toán là môn học công cụ.

          + Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.

     Như vậy, phát triển tư duy Toán học nói chung và tư duy Dãy số nói riêng là góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, năng lực con người Việt Nam trong thời đại mới.

2.2. THỰC TRẠNG VÂN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN

        Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi thấy được thực trạng và vấn đề cần quan tâm đó là: Nội dung dạy học sinh khá giỏi chưa bảo đảm tính logíc, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ chưa phân dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức, về phương pháp giải các bài toán nâng cao chưa hợp lí, có những phương pháp chưa phù hợp với điều kiện tâm lí và năng lực tiếp thu của học sinh; về phía chuyên môn chưa có tài liệu nào chỉ đạo cụ thể về nội dung và phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó làm cơ sở. Học sinh chưa có một phương pháp tư duy logic để giải quyết các dạng bài toán nhanh nhất. Chính vì vậy để từng bước nâng cao chất lượng học sinh giỏi mà tôi đang trực tiếp giảng dạy, tôi đã đưa ra nội dung đề tài ”Phương pháp giải các bài toán về  dãy số”. 

Bài toán về dãy số thường có trong thi học kì, thi học sinh giỏi 6, 7; thậm chí có cả trong thi học sinh giỏi lớp 9, thi vào 10. Học sinh phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường chỉ những học sinh giỏi mới có thể thực hiện được.

Từ thực trạng trên dẫn đến:

  – Học sinh thường ngại học, nhìn thấy bài toán về dãy số  rắc rối học sinh không biết bắt đầu từ đâu.

  – Các tài liệu có rất nhiều, nhưng viết dàn trãi ở các vấn đề, có rất ít tài liệu viết chỉ dành mình chuyên đề về dãy số.

2.3. GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

 Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính:

    – Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên cách đều và không cách đều

    – Dạng thứ hai: Dãy số với các số  là phân số

  Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên:

1. Toán về số nguyên

  1.1. Dãy số mà các số hạng cách đều

Bài 1.  Tính tổng  A = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99

Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ  thấy ngay tổng: 

A = 1 + (2 + 3 + 4 + … + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + … + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950

Chú ý: Tổng A gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành các cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được  49 cặp và  dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.

    Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:

Cách 2:

          2A = 100.99 A = 50.99 = 4950 

Bài 2 . Tính B = 1 + 3 + 5 + … + 997 + 999

   Giải

Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng  bài trên ta có B = (1 + 999) + (3 + 997) + … + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)

Cách 2: Ta thấy: