Giáo án Toán 11 CTST CHƯƠNG I – Bài 3. Các công thức lượng giác(W+PPT)

I. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:

Mô tả các phép biến đổi lượng giác cơ bản: công thức cộng; công thức góc nhân đôi; công thức biến đồi tich thành tồng và công thức biến đổi tổng thành tích.

Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác và các phép biến đổi lượng giác.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu mô tả các phép biến đổi lượng giác.

Mô hình hóa toán học: Mô tả được các dữ liệu liên quan đến yêu cầu trong thực tiễn, lựa chọn các công thức lượng giác phù hợp để giải quyết bài toán.

Giải quyết vấn đề toán học: sử dụng các kiến thức đã học để

Giao tiếp toán học.

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3. Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.

2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước…), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu:

– Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học. Thông qua bài toán thực tế trong xây dựng để dẫn đến các phép biến đổi lượng giác, cụ thể là công thức nhân đôi.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

c) Sản phẩm: HS dự đoán, đưa ra câu trả lời cho câu hỏi mở đầu.

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đã hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

– GV hướng dẫn:

+ Sử dụng hình vẽ sau, với dữ kiện chiều rộng cổng AH = 120 cm, khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH là BB’ = 27 cm.

+ Giả sử (AOB) ̂=α. Ta có khoảng cách từ B đến AH bằng 27″ ” cm nên sin⁡α=27/60.

Với α là góc nhọn nên có thể tính được tất cả các giá tri lượg giác của góc α.

Do đó để tính được khoảng cách từ C đến AH, cần có công thức biểu diễn sin⁡2α qua các giá trị lượng giác của góc α.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu về các công thức biến đổi lượng giác để tính toán được linh hoạt, vận dụng vào nhiều bài toán.”

Bài 3. Các công thức lượng giác.

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Công thức cộng. Công thức góc nhân đôi

a) Mục tiêu:

– HS mô tả được công thức cộng, công thức góc nhân đôi lượng giác.

– HS vận dụng vào một số bài toán.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động mục 1 và mục 2.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS vận dụng vào bài tập tính giá trị lượng giác sử dụng công thức cộng, công thức nhân đôi.

d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu công thức cộng

– GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

– GV có thể cho HS tìm hiểu, xây dựng thêm công thức cộng của sin và tan bằng cách sử dụng công thức cộng cos và giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt.

sin⁡(α+β)=cos⁡(π/2-α-β)

=cos⁡(π/2-α)cos⁡β+sin⁡(π/2-α)sin⁡β

=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β

sin⁡(α-β)=sin⁡[α+(-β)]

=sin⁡〖α cos⁡(-β) 〗+cos⁡〖α sin⁡(-β) 〗

=sin⁡αcos⁡β-cos⁡αsin⁡β;

tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)/cos⁡(α+β)

=(sin⁡〖α cos⁡β 〗+cos⁡〖α sin⁡β 〗)/(cos⁡〖α cos⁡β 〗-sin⁡〖α sin⁡β 〗 )

=(tan⁡α+tan⁡β)/(1-tan⁡〖α tan⁡β 〗 ) ” ”

“(chia tử và mẫu cho ” αcos⁡β

tan⁡〖(α-β)〗=tan⁡[α+(-β)]=(tan⁡α+tan⁡(-β))/(1-tan⁡αtan⁡(-β))=(tan⁡α-tan⁡β)/(1+tan⁡αtan⁡β)

– GV chốt lại công thức cộng.

– GV có thể giới thiệu một số cách nhớ công thức.

– HS quan sát và nêu cách làm Ví dụ 1.

– HS thực hiện Thực hành 1, sử dụng cộng thức cộng ( π)/3-π/4=π/12.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu công thức góc nhân đôi

– HS thực hiện HĐKP 2, từ đó xây dựng được công thức góc nhân đôi.

– GV có thể cho HS viết cos α,sin α theo cos 2α. Giới thiệu công thức hạ bậc.

Công thức hạ bậc

cos^2 α=(1+cos⁡2α)/2

sin^2 α=(1-cos⁡2α)/2

– HS thực hiện Ví dụ 2, sử dụng công thức góc nhân đôi.

– Tương tự HS thực hiện Thực hành 2.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

– HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

– GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

– HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

– Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở. 1. Công thức cộng

HĐKP 1

OM ⃗⋅ON ⃗=|OM||ON ⃗|cos⁡(MON) ̂ (định nghĩa của tích vô hướng)

=|OM ⃗ ||ON ⃗ | cos⁡(α-β)” “=cos⁡(α-β)

“(vì ” (MON) ̂=(xON) ̂-(xOM) ̂=α-β)

(” vì ” M,N” thuộc đường trò̀n lượng giác nên “|OM ⃗|=|ON ⃗|=1)”. ”

Do đó OM ⃗⋅ON ⃗=cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α

Vậy cos⁡(α-β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β.

Suy ra cos⁡(α+β)=cos⁡[α-(-β)]=cos⁡αcos⁡(-β)+sin⁡αsin⁡(-β)

Kết luận: Công thức cộng

cos(α+β)=cos⁡α cos⁡b-sin⁡α sin⁡b

cos(α-β)=cos⁡α cos⁡b+sin⁡α sin⁡b

sin(α-β)=sin⁡α cos⁡β-cos⁡α sin⁡β

sin(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β

tan⁡(α-β)=tan⁡〖α-tan⁡〖β 〗 〗/(1+tan⁡〖α tan⁡β 〗 )

Ví dụ 1 (SGK -tr.21)

Thực hành 1

sin⁡π/12=sin⁡(π/3-π/4)=sin⁡π/3 cos⁡π/4-cos⁡π/3 sin⁡π/4=√3/2⋅√2/2-1/2⋅√2/2=(√6-√2)/4;

tan⁡〖π/12〗=tan⁡(π/3-π/4)=(tan⁡〖π/3〗-tan⁡〖π/4〗)/(1+tan⁡〖π/3 tan⁡〖π/4〗 〗 )=(√3-1)/(1+√3⋅1)

=2-√3

2. Công thức góc nhân đôi

HĐKP 2:

cos⁡2α=cos⁡(α+α)=cos⁡〖α cos⁡α 〗-sin⁡〖α sin⁡α 〗

=cos^2⁡α-sin^2⁡α.

Mà cos^2⁡α-sin^2⁡α=1-2sin^2⁡α.

+) sin⁡2α=sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α.

+) tan⁡2α=tan⁡(α+α)=(2tan⁡α)/(1+tan^2⁡α).

Kết luận

sin⁡〖2α=2 sin⁡〖α cos⁡〖\ α〗 〗 〗

cos⁡〖2α=cos^2⁡α-〗 sin^2⁡α=2 cos^2⁡α-1=1-2α

tan⁡2α=2tan⁡α/(1-tan^2⁡α )

Ví dụ 2 (SGK -tr.22)

Thực hành 2:

+) cos^2⁡π/8=(cos⁡π/4+1)/2=(√2/2+1)/2=(2+√2)/4

Vì 0<π/8<π/2 nên cos⁡〖π/8〗<0.

〖+) tan〗^2⁡π/8=1/(cos^2⁡π/8)-1=4/(2+√2)-1=3-2√2.

Vì 0<π/8<π/2 => tan⁡π/8=√(3-2√2) =√2.