Giáo án Toán 11 CTST CHƯƠNG III – Bài 1. Giới hạn của dãy số(W+PPT)

. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:

Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số.

Giải thích được một số giới hạn cơ bản như: lim 1/n^k =0(k∈N^* ),limq^n=0(|q|<1) và lim⁡c=c với c là hằng số.

Vận dụng được các giới hạn cơ bản và các phép toán giới hạn dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.

Tính được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Năng lực tư duy và lập luận toán học: so sánh, phân tích, lập luận trong quá trình khám phá, hình thành kiến thức (giới hạn hữu hạn của dãy số, các phép toán về giới hạn hũu hạn của dãy số, …).

Năng lực giao tiếp toán học: sử dụng các thuật ngữ, khái niệm, công thức, kí hiệu toán học trong trình bày, thảo luận, làm việc nhóm.

Giải quyết vấn đề toán học: thực hành và vận dụng kiến thức để tìm giới hạn dãy số.

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3. Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.

2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước…), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu:

– Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu, bước đầu hình dung về nội dung bài học.

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

– GV đặt câu hỏi gợi mở:

+ Nhắc lại khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn?

(Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Trong phần thập phân, bắt đầu từ một hàng nào đó, có một chữ số hay một cụm chữ số liền nhau xuất hiện liên tiếp mãi).

+ Theo em bạn nào nói đúng? Tại sao?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một phép toán mới: phép toán giới hạn. Nhờ phép toán này, người ta xây dựng nên những khái niệm cơ bản của Giải tích toán học như tính liên tục, đạo hàm và tích phân. Nội dung của chương này gồm: giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và tính liên tục của hàm số. Để tìm đáp án chính xác cho câu hỏi trên, chúng ta vào bài học tìm hiểu về giới hạn của hàm số.”

Bài mới: Giới hạn của dãy số.

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Giới hạn hữu hạn của dãy số.

a) Mục tiêu:

– HS nhận biết được khái niệm giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn của dãy số.

– Giải thích được một số giới hạn cơ bản như: lim 1/n^k =0(k∈N^* ),lim〖 q〗^n=0(|q|<1) và lim⁡c=c với c là hằng số.

– HS vận dụng được các giới hạn cơ bản và các phép toán giới hạn dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động HĐKP 1, 2, Thực hành 1, 2, đọc hiểu Ví dụ.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS trả lời các câu hỏi về dãy số để hình thành khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số; áp dụng các giới hạn cơ bản để tìm giới hạn của dãy số.

d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Quan sát vào công thức của dãy số và giá trị của bảng a, ta thấy khi n càng lớn thì giá trị phân số càng nhỏ.

+ Quan sát hình vẽ điểm u_n càng dần đến điểm 0 khi n trở nên rất lớn. Hay chính là với số dương bất kì cho trước, |u_n | vẫn nhỏ hơn số đó, kể từ số hàng nào đó trở đi.

Ví dụ cho số dương M = 0,002; thì với n > 2000 thì |u_n |=1/n<0,002.

– GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 1. GV hướng dẫn:

+ Để xác định giới hạn dãy này, ta so sánh giá trị của dãy |u_n | với dãy số 1/n. Giá trị của 2 dãy này có mối quan hệ gì?

(|u_n |=|((-1)^n)/n|=1/n)

– GV đặt câu hỏi, cho HS thảo luận nhóm đôi:

+ Hãy so sánh |1/n^k | với 1/n (với k nguyên dương). Từ đó có thể kết luận gì về giá trị lim 1/n^2 ?

(|1/n^k |≤1/n, từ đó lim 1/n^k =0).

+ Xét các dãy số có dạng q^n với |q|<1. Khi n càng lớn thì giá trị q^n sẽ như thế nào? Từ đó xác định giá trị lim⁡〖q^n 〗?

(Khi n càng lớn thì giá trị q^n càng nhỏ. lim⁡q^n=0)

– Từ đó GV giới thiệu một số giới hạn cơ bản.

+ Sử dụng các dãy cơ bản đó chúng ta có thể tính nhiều giới hạn các dãy.

+ GV chú ý cho HS: lim⁡〖q^n 〗=0 với điều kiện |q|<1.

– HS đọc hiểu Ví dụ 2, trình bày lại, giải thích đã sử dụng tính chất nào để tìm giới hạn.

– HS thảo luận nhóm đôi, làm Thực hành 1, giải thích.

– HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện HĐKP 2.

– GV gợi mở:

Ta nhận thấy〖 u〗_n-2 càng dần đến 0 khi n trở nên rất lớn. Hay điểm u_n càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

+ Khi đó ta nói dãy u_n có giới hạn là 2.

– GV cho HS phát biểu khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số.

+ Chú ý cho HS giới hạn của hàm hằng.

– HS đọc hiểu Ví dụ 3. GV hướng dẫn:

+ Thực hiện phép chia tử cho mẫu, ta thấy dãy số có dạng u_n=3+1/n^2 , đến đây ta có thể thấy 1/n^2 chúng ta có thể tính được giới hạn. Nên ta xét tính giới hạn của hiệu 〖 u〗_n-3=1/n^2 .

– Áp dụng HS thực hiện Thực hành 2.

+ GV hướng dẫn HS chọn dãy số có giới hạn 0 phù hợp để từ đó tính được giới hạn dãy đã cho.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

– HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

– GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

– HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

– Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức :

+ Giới hạn 0 của dãy số. Một số dãy số cơ bản có giới hạn 0: lim 1/n^k =0, lim⁡q^n=0, k nguyên dương, |q|<1.

+ Giới hạn hữu hạn của dãy số có thể tính được thông qua việc chọn lựa dãy số có giới hạn 0 một cách hợp lí. 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số.

a) Giới hạn 0 của dãy số

HĐKP 1: u_n=((-1)^n)/n.

a)

n 10 20 50 100 1000

|u_n | 0,1 0,05 0,02 0,01 0,0001

b) |u_n |=1/n.

Ta có: 1/n<0,01 khi n>100;

1/n<0,001 khi n>1000.

Kết luận

Ta nói dãy số (u_n ) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n | nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗 =0

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Với dãy số u_n=((-1)^n)/n ở P, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim u_n=0.

Giải

Với số thực dương d bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên N sao cho N>1/d. Khi đó, với mọi số tự nhiên n sao cho n≥N, ta có |u_n |=|((-1)^n)/n|=1/n≤1/N

Theo định nghĩa, limu_n=0.

Giới hạn cơ bản:

lim 1/n^k =0, với k nguyên dương bất kì.

lim⁡q^n=0, với q là số thực thoả mãn |q|<1.

Ví dụ 2 (SGK – tr. 65)

Thực hành 1:

a) lim 1/n^2 =0 vì lim 1/n^k =0, với k nguyên dương bất kì.

b) lim(-3/4)^n=0 vì lim⁡q^n=0, với q là số thực thoả mãn |q|<1

b) Giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐKP 2:

a) v_n=u_n-2=1/n

lim〖 v〗_n=lim 1/n=0

b) u_1=3

u_2=5/2

u_3=7/3

u_4=9/4

Kết luận:

Ta nói dãy số (u_n ) có giới hạn hũu hạn là số a (hay u_n dần tới a ) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u_n-a)=0. Khi đó, ta viết lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=a hay lim⁡u_n=a

Chú ý: Nếu u_n=c(c┤ là hằng số) thì lim⁡u_n=lim⁡c=c.

Ví dụ 3 (SGK – tr.65)

Thực hành 2:

a) lim(2+(2/3)^n-2)=lim(2/3)^n=0, suy ra lim(2+(2/3)^n )=2.

b) lim((1-4n)/n-(-4))=lim(1/n)=0, suy ra lim((1-4n)/n)=-4.