Giáo án Toán 11 CTST CHƯƠNG III – Bài 2. Giới hạn của hàm số(W+PPT)

. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:

Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn một phía của hàm số tại một điểm.

Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực và mô tả được một số giới hạn cơ bản như: lim┬(x→+∞)⁡〖c/x^k 〗=0, lim┬(x→-∞)⁡〖c/x^k 〗=0⁡với c là hằng số và k là số nguyên dương.

Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm và hiểu được một số giới hạn cơ bản như: lim┬(x→a^+ )⁡〖1/(x-a)=+∞〗;lim┬(x→a^- )⁡〖1/(x-a)=-∞〗.

Tính một số dạng giới hạn của hàm số bằng cách vận dụng các phép toán trên giới hạn hàm số.

Giải quyết một số vấn đề thực tiến gắn với giới hạn của hàm số.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối tượng trong quá trình tìm hiểu xây dựng bài học về khái niệm giới hạn của hàm số,

Mô hình hóa toán học: Giải quyết một số vấn đề thực tiến gắn với giới hạn của hàm số.

Giải quyết vấn đề toán học: tính được một số giới hạn bằng cách vận dụng các phép toán trên giới hạn và các giới hạn cơ bản.

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3. Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.

2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước…), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu:

– Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học. Thông qua việc xét sự thay đổi của diện tích một hình chũ nhật với hình ảnh trực quan, HS có cảm nhận ban đầu về giới hạn của hàm số tại một điểm hoặc tại vô cực.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

c) Sản phẩm: HS dự đoán đưa ra câu trả lời cho câu hỏi mở đầu.

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số y=1/x^2 (x>0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc toạ độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

– GV đặt câu hỏi gợi mở thêm:

+ Tính diện tích của hình chữ nhật theo x.

(S_OHMK=x.1/x^2 =1/x (x là hoành độ của điểm M, x> 0).

+ Nếu H tiến gần đến gốc tọa độ thì x dần đến giá trị nào? Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào?

+ Nếu H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

Dự kiến câu trả lời:

S_OHMK trở nên rất lớn khi H tiến gần đến gốc toạ độ (x dần đến 0 ) và trở nên rất bé khi H tiến xa sang phía bên phải ( x trở nên rất lớn).

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Buổi học trước ta đã học về giới hạn của dãy số, với một hàm số biến x∈R hoặc các tập xác định khác thì ta có thể tính được giá trị giới hạn của hàm số khi x dần tiến tới vô cùng hoặc x dần tiến tới một số hay không?”.

Bài 2. Giới hạn của hàm số

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số.

a) Mục tiêu:

Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số.

Tính một số dạng giới hạn của hàm số bằng cách vận dụng các phép toán trên giới hạn hàm số.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động mục 1 và 2.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi.

d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1

+ GV chiếu lại hình vẽ và mô tả: Khi x càng dần đến 1 thì f(x) càng dần đến 4, hay có thể nói : “Hàm số y = f(x) có giới hạn là 4 khi x dần đến 1”.

– GV giới thiệu về khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Lưu ý: viết khoảng K thay có các khoảng (a;b),(-∞;b),(a;+∞);(-∞;+∞).

– GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 1

+ Tìm tập xác định của hàm số.

+ Để tính giới hạn hàm số khi x dần tiến tới -2, ta xét dãy số x_n thỏa mãn điều kiện rồi tính giới hạn lim⁡f(x_n ) khi n→+∞

– GV đặt câu hỏi:

+ Tính lim┬(x→3) x; lim┬(x→3) 4

+ Từ đó khái quát với trường hợp tổng quát

lim┬(x→x_0 ) x_o=x_o;

lim┬(x→x_0 ) c=c (c là hằng số).

– HS thực hiện Thực hành 1.

– GV dẫn dắt: ta đã học các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số, liệu với giới hạn hữu hạn của hàm số thì sao?

– HS thực hiện HĐKP 2 theo nhóm đôi.

Từ kết quả trên, tương tự HS có thể khái quát về các phép toán giới hạn hữu hạn của hàm số.

+ GV chú ý điều kiện với các giới hạn lim┬(x→x_0 ) (f(x))/(g(x))=L/M,” nếu ” M≠0 và

f(x)≥0 và  lim┬(x→x_0 ) f(x)=L

thì L≥0 và lim┬(x→x_0 ) √(f(x))=√L.

– GV đặt câu hỏi:

+ Áp dụng định nghĩa và các phép toán hãy tính

(lim)┬(x→x_0 ) x^k, k là số nguyên dương;

+ Hãy chứng minh

(lim)┬(x→x_0 ) [cf(x)]=c (lim)┬(x→x_0 ) f(x) (c∈R, nếu tồn tại (lim)┬(x→x_0 ) f(x)∈R)

– GV hướng dẫn Ví dụ 2 và Ví dụ 3.

+ VD2: sử dụng phép toán tổng hiểu, tích, thương để đưa về các giới hạn cơ bản hơn.

+ VD3: nhận thấy các giới hạn đều có dạng 0/0.

Muốn tính được phải khử mẫu, tức khử nhân tử chứa (x-x_o).

+ Các cách thông thường để khử mẫu là phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân liên hợp để khử mẫu.

– HS áp dụng làm Thực hành 2. GV yêu cầu HS nêu cách làm, giải thích.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

– HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

– GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

– HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

– Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở. 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

HĐKP 1

a) Khi x càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4 .

b) Điểm P càng gần đến điểm (0;4) trên trục tung khi điểm H càng gần về điểm (1;0) trên trục hoành.

*) Sử dụng giới hạn dãy số

Lấy dãy số (x_n ) bất kì sao cho x_n≠1;lim⁡〖x_n 〗=1. ta có

f(x_n )=(2x_n^2-2)/(x_n-1)=2(x_n+1)(x_n-1)/(x_n-1)=2x_n+2.

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là 4 khi x dần tới 1.

Kết luận:

Cho điểm x_0 thuộc khoảng K và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc 〖K\\{x〗_0}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x_0 nếu với dãy số (x_n ) bất kì.

Ví dụ 1 (SGK -tr.72)

Nhận xét

lim┬(x→x_0 ) x_o=x_o;

lim┬(x→x_0 ) c=c (c là hằng số).

Thực hành 1

a) Giả sử (x_n ) là dãy số bất kì, thoả mãn x_n≠3 với mọi n và x_n→3 khi n→+∞. Ta có

lim(2x_n^2-x_n )=2(limx_n )^2-limx_n=2⋅3^2-3=15.” ”

Vậy lim┬(x→3)  (2x^2-x)=15.

b) Giả sử (x_n ) là dãy số bất kì, thoả mãn x_n≠-1 với mọi n và x_n→-1 khi n→+∞. Ta có

lim (x_n^2+2x_n+1)/(x_n+1)=lim (x_n+1)^2/(x_n+1)=lim(x_n+1)

=limx_n+1=-1

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

HĐKP 2

a) Ta có lim[f(x_n )+g(x_n )]=lim(2x_n+x_n/(x_n+1))

=2limx_n+lim(x_n/(x_n+1))=2⋅1+1/(1+1)=5/2.

b) Vì lim[f(x_n )+g(x_n )]=5/2

nên lim┬(x→1) [f(x)+g(x)]=5/2.

Ta có: limf(x_n )=lim(2x_n )=2lim(x_n )=2⋅1=2

⇒lim┬(x→1)⁡〖f(x)=2;〗

limg(x_n )=lim x_n/(x_n+1)=(limx_n)/(limx_n+1)=1/(1+1)=1/2

lim┬(x→1) [f(x)+g(x)]=lim┬(x→1) f(x)+lim┬(x→1) g(x).

Kết luận

+ Cho lim┬(x→x_0 ) f(x)=L vàlim┬(x→x_0 ) g(x)=M. Khi đó

■(&lim┬(x→x_0 ) [f(x)+g(x)]=L+M;@& lim┬(x→x_0 ) [f(x)-g(x)]=L-M;@&@& lim┬(x→x_0 ) (f(x))/(g(x))=L/M,” nếu ” M≠0.)

+ Nếu f(x)≥0 và lim┬(x→x_0 ) f(x)=L

thì L≥0 và lim┬(x→x_0 ) √(f(x))=√L.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x≠x_o)

Nhận xét:

a) lim┬(x→x_0 ) x^k=x_o^k, k là số nguyên dương;

b) lim┬(x→x_0 ) [cf(x)]=c lim┬(x→x_0 ) f(x) (c∈R, nếu tồn tại lim┬(x→x_0 ) f(x)∈R)

Ví dụ 2 (SGK -tr.73)

Ví dụ 3 (SGK -tr.73)

Thực hành 2

lim┬(x→-2) (x^2+5x-2)

=lim┬(x→-2) x^2+5 lim┬(x→-2)  x-lim┬(x→-2) 2

=(-2)^2+5⋅(-2)-2=4-10-2=-8.