Giáo án Toán 11 CTST CHƯƠNG VII – Bài 1. Đạo hàm(W+PPT)

. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức, kĩ năng: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:

Nhận biết được một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm như: xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều, xác định tốc độ thay đổi của nhiệt đô.

Nhận biết được định nghĩa đạo hàm. Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.

Nhận biết được ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Thiết lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm thuộc đồ thị.

Nhận biết được số e thông qua bài toán mô hình hóa lãi suất ngân hàng.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận để hình thành định nghĩa đạo hàm thông qua các bài toán tính vận tốc, tốc độ của một vật.

Mô hình hóa toán học: Thiết lập được biểu thức toán học để mô tả cho các bài toán thực tế gắn với định nghĩa đạo hàm.

Giải quyết vấn đề toán học: sử dụng định nghĩa đạo hàm xác định được cách thức để giải quyết yêu cầu trong các bài toán.

Giao tiếp toán học: sử dụng các thuật ngữ, khái niệm, công thức, kí hiệu toán học trong trình bày, thảo luận, làm việc nhóm.

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của đạo hàm.

3. Phẩm chất

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.

2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước…), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu:

– Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học thông qua một tình huống thực tế tính tốc độ của xe tại mỗi thời điểm và dẫn tới khái niệm đạo hàm.

b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

Dự kiến câu trả lời:

Tốc độ của xe cho biết tốc độ thay đổi của quãng đường của xe đi được theo thời gian. Nếu biết quãng đường tại mọi thời điểm thì có thể tính được tốc độ của xe tại mọi thời điểm (dựa vào phép tính đạo hàm).

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Trên thực tế đại lượng biểu thị tốc độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm là đạo hàm của hàm số theo thời gian. Để hiểu rõ hơn câu trả lời này, trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm”.

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

Hoạt động 1: Đạo hàm

a) Mục tiêu:

Nhận biết được một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm như: xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều, xác định tốc độ thay đổi của nhiệt đô.

Nhận biết được định nghĩa đạo hàm. Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.

b) Nội dung:

HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học về định nghĩa đạo hàm, câu trả lời của HS cho các câu hỏi.

d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

– GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Thông qua việc xét bài toán chuyển động rơi của vật, HS nhận biết khái niệm và cách tính vận tốc tức thời thông qua giới hạn của tốc độ trung bình của chuyển động. Qua đó, HS bước đầu làm quen với khái niệm đạo hàm.

Từ kết quả của hoạt động trên, GV mở rộng bài toán giới thiệu giới hạn lim┬(t→t_0 )⁡〖(s(t)-s(t_0))/(t-t_0 )〗 được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t_0, kí hiệu v(t_0). Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số s(t).

Kí hiệu:

v(t_0 )=s^’ (t_0 )=lim┬(t→t_0 )⁡〖(s(t)-s(t_0))/(t-t_0 )〗

GV giới thiệu định nghĩa đạo hàm.

– HS đọc, giải thích Ví dụ 1.

+ Áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm.

GV chú ý cho HS.

– HS đọc, giải thích Ví dụ 2.

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại f(x)=c.

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại hàm số f(x)=1/x với x≠0.

– Áp dụng đinh nghĩa hoàn thành phần Thực hành 1.

GV đưa chú ý

GV đặt câu hỏi mở rộng: “Vậy đạo hàm có ý nghĩa gì trong vật lí?”

– HS làm Vận dụng 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t=2.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

– HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

– GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

– HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

– Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở. 1. Đạo hàm

HĐKP 1:

Quãng đường rơi tự do của vật biểu diễn bởi công thức: S(t)=4,9t^2.

a) Kết quả: (Bảng dưới)

Khi t càng gần 5 thì giá trị của (S(t)-s(5))/(t-5) càng gần về 49.

b) Tại t_0=5, ta có:

lim┬(t→5)⁡〖(s(t)-s(5))/(t-5)=lim┬(t→5)⁡〖(4,9t^2-4,9.5^2)/(t-5)=49〗 〗.

c) lim┬(t→t_0 )⁡〖(s(t)-s(t_0))/(t-t_0 )=lim┬(t→t_0 )⁡〖(4,9t^2-4,9.〖t_0〗^2)/(t-t_0 )=9,8t_0 〗 〗.

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x_0∈(a;b).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )〗

Thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x_0, kí hiệu là f'(x_0) hoặc y'(x_0).

Vậy: f^’ (x_0 )=lim┬(x→x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )〗.

Ví dụ 1 (SGK – tr.38)

Chú ý

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x∈(a;b) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a;b), kí hiệu y’ hoặc f'(x).

Ví dụ 2 (SGK – tr.38)

Thực hành 1

Với bất kì x_0 ta có:

f^’ (x)=lim┬(x→x_0 )⁡〖(x^3-x_0^3)/(x-x_0 )=lim┬(x→x_0 )⁡〖((x-x_0)(x^2+x.x_0+x_0^2))/(x-x_0 )〗 〗=lim┬(x→x_0 )⁡〖(x^2+x.x_0+x_0^2 )=3x_0^2 〗

Vậy f^’ (x)=3x^2.

Chú ý

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), có đạo hàm tại x_0∈(a;b).

a) Đại lượng ∆x=x-x_0 gọi là số gia của biến tại x_0. Đại lượng ∆y=f(x)-f(x_0 ) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, x=x_0+∆x và

f^’ (x_0 )=lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x_0+∆x)-f(x_0))/∆x〗 〗.

b) Tỉ số ∆y/∆x biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ x_0 đến x_0+∆x; còn f^’ (x_0 ) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại thời điểm x_0.

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Nếu hàm số s=f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f'(t_0) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm t_0.

Nếu hàm số T=f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'(t_0) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm t_0.

Vận dụng 2

v(2)=s^’ (2)=lim┬(t→2)⁡〖(4,9t^2-4,9.2^2)/(t-2)〗=lim┬(t→2)⁡〖4,9(t+2)〗=4,9.(2+2)=19,6

Vậy tại thời điểm t=2, vận tốc tức thời của chuyển động là 19,6m/s.