SKKN Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị

I.ĐẶT VẤN ĐỀ

1/ Lý do chọn đề tài :

Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao tri thức, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám cho đất nước. Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên được hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con người. Toán học giúp cho việc hình thành và phát triển cho người học năng lực tư duy logic, phương pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, tư tưởng đạo đức.

Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học  người giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức và phương pháp truyền thụ phù hợp. Thực tế đã cho thấy hầu hết giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phương pháp còn  nhiều hạn chế, các thầy cô  dạy môn toán cũng không phải là ngoại lệ. Vậy đâu là nguyên nhân ? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là: 

– Giáo viên chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới  hoặc những bài toán khó nên học sinh chưa có phương pháp suy nghĩ, suy luận đúng và tìm tòi lời giải .

– Chỉ nặng về trình bày lời giải  mà không chú ý đến việc hướng dẫn học sinh tự tìm ra lời giải. Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải cụ thể ,mà chưa  suy luận để giải bài toán tương tự.

– Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từng loại để tạo ra phương pháp và lời giải khác nhau, chưa chú rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, biến đổi, suy luận.

2/ Mục đích nghiên cứu :

   Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này.Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8  trường THCS Thiệu Khánh  một số phương pháp  giải bài toán cực trị ”.

3/ Đối tượng nghiên cứu :

 Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8  trường THCS Thiệu Khánh  một số phương pháp  giải bài toán cực trị .

4/ Phương pháp nghiên cứu :

• Khái quát và hệ thống các thức cơ bản .
• Các phương pháp giải bài toán cực trị 
• Các dạng bài tập 
• Lưu ý cho học sinh các sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị 

1. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1/ Cơ sở lí luận:

-Trước khi thực hiện đề tài này thì đầu năm học tôi cho các học sinh khá giỏi do tôi phụ trách làm một bài toán tìm cực trị của lớp 8, tôi ghi thấy rất nhiều học sinh mắc phải những sai lầm ngộ nhận như đã nêu trong đề tài. Sau khi các em nắm  được nội dung kiến thức thì kỹ năng làm bài toán cực trị đã tiến bộ và đặc biệt khi kiểm tra, 100% học sinh không còn mắc phải những sai lầm đáng tiếc nữa, tôi nghĩ đó chính là thành công bước đầu của đề tài.

Tóm lại, từ yêu cầu thực tế của ngành giáo dục, từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán cực trị, tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8  trường THCS Thiệu Khánh  một số phương pháp  giải bài toán cực trị . ”để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

2/ Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

 Được sự phân công của Ban giám hiệu trường THCS Thiệu Khánh dạy bồi dưỡng môn toán lớp 8 ,tôi thấy  qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó

Khi trực tiếp bồi dưỡng, tôi tự thấy kiến thức cơ bản các em nắm tương đối vững . ,xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm được, đặc biệt là đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian mà chưa chắc đã làm được và lại rất dễ mắc sai lầm. Do vậy các em thường bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này. 

3/ Giải pháp thực hiện:

– Giáo viên trang bị cho học sinh các đơn vị kiến thức cơ bản.

– Giáo viên yêu cầu học sinh nắm vững bản chất của bài toán cực trị là như thế nào.

– Giới thiệu các phương pháp giải bài toán cực trị.

– Một số bài tập áp dụng cụ thể.

– Một số các sai lầm mắc phải.

a/ Cách giải quyết những vấn đề đã làm:

*Biện pháp 1:

Giáo viên trang bị cho học sinh các đơn vị lý thuyết cần thiết. Cụ thể như sau:

1. Lý thuyết:

Cho một hàm số F(x) xác định trên miền D; (với D ⊂ Rn)

a/ M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn: 

*. F(x) ≤ M với ∀ x ∈ D

*. ∃ x0 ∈ D sao cho f(xo) =M. Ký hiệu M = max f(x), x ∈D

b/ m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

*. F(x) ≥ m với ∀ x ∈ D

*. ∃ x0 ∈ D sao cho f(xo) =m. Ký hiệu m =  min f(x), x ∈D

c/ Các kiến thức cần nhớ: Xét trong tập hợp số thực R.

c1/ x2 ≥ 0 với ∀ x, tổng quát: (f(x))2k ≥ 0 với ∀ x; k ∈ Z.

Từ đó suy ra: (f(x))2 + m ≥ m hoặc M – (f(x))2 ≤  M

c2/ 

a/  | x |   ≥ 0

b/  | x + y |   ≤  | x |   +  | y |   Dấu “=” xảy ra ⇔  x, y cùng dấu.

c/  | x – y |   ≥  | x |   –  | y |   Dấu “=” xảy ra ⇔  x, y cùng dấu.

c3/ Bất đẳng thức Côsi có dạng sau:

* (a + b)2 ≥ 4ab Dấu “=” xảy ra ⇔  a = b/

*   Với ab > 0 Dấu “=” xảy ra ⇔  a = b/

* a + b 2 với a ≥ 0, b ≥ 0, Dấu “=” xảy ra ⇔  a = b/

C4/ Các hệ quả

+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 ; a + b = k (không đổi)

⇒ max (ab) = ⇔ a = b

+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 ; ab = k (không đổi)

⇒ min (a + b) = 2 ⇔ a = b

C5/ Bất đẳng thức Bunhiakôpski.

(ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2) Dấu “=” xảy ra ⇔

2. Phương pháp giải.

2.1. Phương pháp giải bất đẳng thức.

Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D, ta phải chứng minh:

a/ f(x) M hoặc f(x) ≥ m.

b/ Chỉ ra trường hợp x = xo ∈ D sao cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm giá tị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a/ A = (x – 2)2 + 5

b/ B =  |  x |   +  |  8 – x |  

c/ C = ( a + b + c).()  Với a, b, c > 0