SKKN Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8

1. Mở đầu

1.1. Lý do chọn đề tài

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết 

bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy toán nói riêng trong trường trung học cơ sở hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. 

Qua thời gian giảng dạy môn Toán 8, tôi nhận thấy việc biến đổi đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung cơ bản hết sức quan trọng. Nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: giải phương trình, bất phương trình, quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức… Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số ở các lớp tiếp theo. Chúng ta thấy đối với đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, nếu chỉ áp dụng những phương pháp đã được học trong sách giáo khoa thì việc phân tích nó thành nhân tử là rất khó khăn đối với cả thầy và trò. 

Chính vì vậy khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 tôi đã tìm kiếm, nghiên cứu các nguồn tài đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sao cho dễ hiểu, dễ nhớ và có hệ thống. Vẫn biết, hiện nay trên thị trường có rất nhiều sách viết về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử và cũng đã có nhiều giáo viên đúc rút kinh nghiệm về việc phân tích đa thức thành nhân tử. Song, tôi vẫn mạnh dạn giới thiệu với các thầy cô và học sinh kinh nghiệm “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”. Đề tài này chỉ là một phần trong chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử có vai trò quyết định trong giải phương trình một ẩn, bất phương trình một ẩn bậc cao, cực trị đại số… Về nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những kiến thức cơ bản làm cơ sở,  tôi sẽ giới thiệu tiếp một số dạng đa thức bậc bốn được phân tích thành nhân tử có kèm theo cách giải và các ví dụ minh họa, đồng thời đưa ra các bài tập tương tự. Hy vọng đề tài này sẽ trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy cô và các em học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sơ.

1.2. Mục đích nghiên cứu

– Giúp học sinh lớp 8 phân tích thành thạo đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử .

– Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. 

– Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải  các dạng toán khác nhau. 

1.3. Đối tượng nghiên cứu

Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”.

 Đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất lượng mũi nhọn.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

– Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: là nghiên cứu thực trạng việc học sinh phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử hiện nay.  Từ đó  giúp người nghiên cứu thu thập thông tin, làm nảy sinh các ý tưởng nghiên cứu và đề xuất sáng tạo.

– Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: là thu thập thông tin thông qua đọc tài liệu nhằm mục đích tìm chọn những kiến thức mới, dựa vào đặc trưng của đa thức bậc bốn một ẩn, phân loại và đưa ra cách phân tích thành nhân tử cho từng loại, nhằm xây dựng những mô hình lý thuyết hay thực nghiệm ban đầu. 

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thông thường là khéo léo phân tích đa thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung. Với cách làm như vậy thì quả là một khó khăn thách thức cho các em khi phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử. Trong khi đó việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử sau này chỉ là một phần cho việc thực hiện một số dạng toán như giải phương trình bậc bốn, giải bất đẳng thức,… Do đó, giáo viên cần giúp các em học sinh khá, giỏi phân tích một số dạng đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh nhất, để từ đó các em còn có đủ thời gian hoàn thành nội dung chính của bài toán. 

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Năm học …………, tôi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8. Khi dạy các dạng toán biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình,…Thông thường trong các bài toán này hay xuất hiện phần phân tích đa thức thành nhân tử, là khâu then chốt để thực hiện bài toán. Tuy nhiên, cả thầy và trò chỉ biết tách ghép, thêm bớt các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung, nếu là các đa thức bậc thấp thì đơn giản, nhưng bắt gặp đa thức bậc bốn một ẩn thì hiệu quả không cao, mất rất nhiều thời gian.  Thực tế tôi cũng đã kiểm tra học sinh khả năng phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử, với ba bài như sau:

1. x4 – 13x2 +36
2. (x2 + 8x +12)(x2 + 12x + 32) +16
3. x4 + x3 – 4x2 + x + 1

Kết quả

Rõ ràng với kết quả như trên là quá thấp, chưa đạt yêu cầu. Từ đó, tôi thấy cần phải nghiên cứu các nguồn tài liệu, tìm ra phương pháp giải các bài toán phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh và hiệu quả.

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện

   2.3.1. Giải pháp

 Sử dụng việc đặt ẩn phụ một lần hoặc nhiều lần và áp dụng hằng đẳng thức(*) sau: 

Xét đa thức Q(y) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho: và  

        thì

=       

Hay   (*)

Khi a = 1 thì

Trong trường hợp a, b, c nguyên thì trước hết phân tích số nguyên a.c thành tích hai số nguyên m.n sao cho sau đó chọn m, n thỏa mãn m + n = b.