SKKN Sử dụng phương pháp “Ô ăn quan” để giải một lớp bài toán tập hợp lớp 10

là nền tảng của toán học phổ thông, đây là nội dung thiên về lý thuyết và khá trừu tượng đối với học sinh, điều đó làm giảm tính hấp dẫn của nội dung  này đối với học sinh. Tập hợp cũng là nội dung gắn liền với các bài toán thực tế trong cuộc sống, đặc biệt là tập hợp hữu hạn, gần như bất kỳ khía cạnh nào của cuộc sống đều xuất hiện khái niệm tập hợp, như tập hợp học sinh, tập hợp các trường học, tập hợp xe máy, tập hợp nhân viên, hay tập hợp các tỉnh thành … Khi mà Tin học phát triển thì người ta nhận thấy tập hợp hữu hạn được xem là kiến thức không thể thiếu với các Bài toán Tin học. Trong quá trình nghiên cứu các Bài toán thực tế, và nghiên cứu về trò chơi dân gian “Ô ăn quan” chúng tôi phát hiện ra có sự tương đồng rất lớn giữa bài toán tập hợp hữu hạn với tập hợp các viên sỏi trong trò chơi “Ô ăn quan”. Từ đó chúng tôi nghĩ đến câu hỏi có thể sử dụng phương pháp ô ăn quan để giải các bài Toán tập hợp thường được giải bằng biểu đồ Ven hay không? Áp dụng cho một số Bài toán ban đầu chúng tôi thấy cách giải là rất đẹp và dễ hiểu. Bởi vậy chúng tôi chọn đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP “Ô ĂN QUAN” ĐỂ GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN TẬP HỢP LỚP 10”
Với ý muốn là sẽ tạo một cách giải hết sức sơ cấp và rất trực quan chúng tôi quyết định nghiên cứu sâu hơn về các Bài toán tập hợp được giải bằng biểu đồ Ven ở chương trình Toán lớp 10 sẽ giải bằng phương pháp “Ô ăn quan”. Đồng thời với phương pháp này các em có khả năng Tin học có thể viết các thuật toán để giải những bài Toán này một cách rất dễ dàng. Trong bài viết này chúng tôi sẽ giải các Bài toán đó bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’ do chúng tôi đề xuất. Ngoài ra chúng tôi sẽ đề xuất các Bài toán về lý thuyết Graph mà bản chất của nó chính là các Bài toán tập hợp trong chương trình Toán 10, do đó ta có thể giải quyết các Bài toán đồ thị đó bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’. Việc tiếp cận các bài toán Graph theo phương pháp này, giúp các em học sinh không cần thiết phải sử dụng nhiều các kiến thức về lý thuyết đồ thị chuyên sâu.
Các bài Toán tập hợp, đặc biệt là Tập hợp hữu hạn có ý nghĩa rất quan trọng đối với Toán học ứng dụng và các bài toán tổ hợp, khi các em hiểu sâu sắc về Tập hợp sẽ giúp cho các em có được một nền tảng vững chắc để học tập tốt các nội dung Toán học còn lại. Riêng phần tập hợp hữu hạn chính là cơ sở cho nội dung Xác suất Thống kê phổ thông, một nội dung khá mới mẻ trong chương trình Toán hiện thời.
Trong bài viết này chúng tôi cũng giới thiệu về cách nhìn bài toán cổ dưới tư duy của lý thuyết đồ thị. Lý thuyết đồ thị được xem là lý thuyết Toán học gắn liền với các Bài toán thực tiễn, đặc biệt là các Bài toán quy hoạch trong Kiến trúc, các cấu trúc liên kết mạng Internet. Những bài toán này có thể giúp cho Học sinh khá, giỏi và yêu thích môn Toán mở rộng chúng một cách sâu sắc và mang nhiều ích lợi hơn.
Với ý tưởng như trên trong bài viết này chúng tôi sẽ trình bày các nghiên cứu của chúng tôi đạt được trong quá trình chuyển tải phương pháp “Ô ăn quan” vào giải các bài Toán tập hợp của Toán 10. Hy vọng với hướng phát triển này chúng tôi sẽ mở rộng Bài toán sang cho lĩnh vực tin học và các bài toán về Graph ở mức độ sâu sắc hơn.
Phương pháp của chúng tôi, đã được thực tế áp dụng cho học sinh thuộc trường PT Hermann Gmeiner Vinh, học sinh Khối PT trường ĐH Hà Tĩnh và đặc biệt đã đưa vào các chuyên đề cho Sinh viên khoa Sư phạm, ĐH Hà Tĩnh và đạt kết quả rất tốt.
Vinh, tháng 4 năm 2022
Tác giả
Ngô Quốc Chung

B. Nội dung
Ở mục này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp, trình bày chi tiết phương phướng giải toán bằng “Ô ăn quan”.
I. Cơ sở lý thuyết
1.1. Khái niệm: Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học dùng để mô tả một nhóm đối tượng có cùng tính chất nào đó. Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp.
Ta ký hiệu tập hợp bằng chữ hoa: A, B, P, X, Y
Ta ký hiệu phần thử thuộc tập hợp bằng chữ thường: x, y, a, b, c,…
1.2. Định nghĩa: Số phần tử của một tập hợp X gọi là lực lượng của tập hợp X. Kí hiệu là |X|.
Một tập hợp có số phần tử hữu hạn ta gọi là tập hữu hạn.
1.3. Định nghĩa: Ta nói tập X là con của tập Y nếu mọi phần tử của tập X đều nằm trong tập Y. Kí hiệu: X Y
Hai tập hợp X và Y gọi là bằng nhau nếu tập X là con của tập Y và ngược lại tập Y là con của tập X. Nghĩa là:
X=Y Y và Y X
1.4. Phép hợp: Hợp của hai tập hợp X và Y là một tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y. Kí hiệu:
X Y={x|x X hoặc x Y}
1.5. Phép giao: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Kí hiệu:
X Y={x|x X và x Y}
1.6. Phép trừ hai tập hợp: Hiệu của tập hợp X trừ tập hợp Y là một tập hợp gồm các phần tử thuộc X mà không thuộc Y. Kí hiệu:
X\Y=={x|x X và x Y}
1.7. Lý thuyết đồ thị
1.7.1 Định nghĩa về Graph
Một Graph G là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là đỉnh của Graph) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là cạnh của graph) có các đầu mút tại các đỉnh của graph.
1.7.2 Định nghĩa về bậc của đỉnh
Định nghĩa 1.  Đồ thị G là một tập hợp gồm các đỉnh và các cạnh. Ta thường ký hiệu: G = (V, E), trong đó:
+ V: Là tập các đỉnh
+ E: Là tập các cạnh

Ví dụ: V={1;2;3;4}, E={a;b;c;d;e}
Định nghĩa 2.  Bậc của đỉnh V trong đồ thị vô hướng là số cạnh được nối với đỉnh đó. Ký hiệu: deg(V)

Ví dụ: Deg(1)=2, deg(4)=3, deg(6)=1, deg(7)=0
Một đỉnh của graph được gọi là đỉnh của bậc n nếu nó là đầu mút của n cạnh. Định lý 1. (xem [6]) Trong mọi graph G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn, bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G.

II. Giải các Bài toán cổ bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’
Các bài toán cổ này thường có nhiều cách giải mà mỗi bậc học có thể được trang bị một cách, tuy nhiên đây là các bài toán có tính logic cao nên học sinh phải có năng lực Toán học khá mới dùng được các phương pháp như vẽ biểu đồ, đặt ẩn giải hệ phương trình, hoặc biểu đồ Ven. Trong phương pháp ô ăn quan chúng tôi đưa ra đơn giản chỉ là viên sỏi, ô trống và rải, các kiến thức có thể nói rất thực tế, dẫn đến học sinh không cần đòi hỏi quá nhiều kiến thức về Toán vẫn có thể lĩnh hội được. Bài toán 2.1: Gà và chó
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
36 con, 100 chân chẵn ”
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Lời giải
Theo bài ta có: tổng số con gà và con chó có tất cả 36 con và 100 chân.
Bây giờ ta vẽ 36 ô và 100 viên sỏi. Trong 36 ô mỗi ô ta rải vào 2 viên sỏi hết 72 viên sỏi, còn lại 28 viên sỏi. Rải tiếp 28 viên sỏi còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 2 viên sỏi. Khi đó, có 14 ô chứa 4 viên sỏi và 22 ô chứa 2 viên sỏi. Hay có 14 con chó và 22 con gà.

“Thuyền to chở được 6 người,
Thuyền nhỏ chở được 4 người là đông.
Một đoàn trai gái sang sông,                     10 thuyền to nhỏ giữa dòng đang trôi.                     Toàn đoàn có cả 100 người,
Trên bờ còn 48 người đợi sang”
Hỏi có bao nhiêu thuyền to, bao nhiêu thuyền nhỏ
Lời giải:
Toàn đoàn có 100 người, trên bờ còn 48 người đợi sang, có 52 người đang ngồi trên 10 thuyền.
Theo bài ta có: Tổng số thuyền nhỏ và to có tất cả 10 thuyền, 52 người.
Bây giờ ta vẽ 10 ô và 52 viên sỏi. Trong 10 ô mỗi ô ta rải vào 4 viên sỏi hết 40 viên sỏi, còn lại 12 viên sỏi. Bỏ tiếp 12 viên sỏi còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 2 viên. Khi đó, có 6 ô chứa 6 viên sỏi và 4 ô chứa 4 viên sỏi. Hay có 6 thuyền to và 4 thuyền nhỏ.
Phương pháp Ô ăn quan.

Nhận xét:
Từ một bài toán tưởng chừng như đơn giản nhưng cách giải không hề đơn giản. Thông qua ví dụ trên ta  thấy từ những trực quan cụ thể sẽ giúp cho học sinh hình dung ra được bài toán, khắc sâu được những kiến thức và dễ dàng tìm ra được kết quả chính xác.
=>Vì vậy nếu chỉ rập khuôn máy móc các phương pháp giải hiện có thì sẽ rất khó khăn cho việc tìm ra đáp số bài toán.
Ví dụ trên đã yêu cầu học sinh vận dụng được sự mềm dẻo, linh hoạt trong suy nghĩ để giải quyết bài toán. Đó là một yếu tố rất cần thiết, tránh sự cứng nhắc dẫn đến những cách giải cồng kềnh hoặc bế tắc.
Bài toán 2. 3: Bài toán lợn gà
Tối qua đếm đàn lợn gà
Thấy được trăm mắt còn đầu năm mươi
Một trăm hai chục chân tròn Đố bạn biết có bao nhiêu gà và lợn? Lời giải:
Có 50 cái đầu nên tổng số lợn và gà là 50 con và tổng số là 120 chân. Bây giờ ta vẽ 50 ô tượng trưng cho 50 con, và lấy 120 viên sỏi tượng trưng cho 120 cái chân.
Bây giờ ta sẽ rải đầy kín tất cả các ô, với mỗi ô hoặc hai viên sỏi, hoặc 4 viên sỏi. Khi đó số ô có 4 viên tức là có 4 chân chính là lợn, số ô có 2 viên tức là có 2 chân chính là gà.
Rõ ràng khi rải đầy các ô có hai viên mỗi ô, thì hết 100 viên, nên thừa 20 viên. 20 viên còn lại rải đủ cho 10 ô, để thêm mỗi ô 2 viên vậy số ô có 4 viên là 10 nên số lợn là 10 con, còn lại số ô có 2 viên là 40 ô vậy có 40 gà.

Bài toán 2.4:  Cam – Quýt
Quýt ngon mỗi quả chia 3
Cam ngon mỗi quả chia ra làm 10
Mỗi người 1 miếng chia đều Bổ 17 quả, 100 người đủ chia?”
Hỏi có bao nhiêu quả cam và bao nhiêu quả quýt.
Lời giải:
Vì tổng số quả là 17 nên ta sẽ vẽ 17 ô, chia ra cho một 100 người nên có 100 miếng được chẻ ra nên ta sẽ lấy 100 viên sỏi để rải vào 17 ô.
Ta sẽ rải hết tất cả các ô sao cho mỗi ô hoặc có 3 viên hoặc có 10 viên.
Đầu tiên ta sẽ rải 17 ô mỗi ô 3 viên hết 51 viên còn lại 49 ô, bây giờ sẽ rải sỏi còn lại vào các ô 10 viên tức là mỗi ô đó cộng thêm 7 viên ta sẽ rải được 7 ô. Vậy số ô 10 viên là 7 nên có 7 quả cam, số ô 3 viên là 10 nên có 10 quả quýt.

Bài toán 2.5:  Bài toán “thương nhau cau sáu bổ ba” “Thương nhau cau sáu bổ ba
Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mười.
Mỗi người một miếng trăm người,
Có mười bảy quả hỏi người ghét yêu”.
Hỏi có bao nhiêu quả cau ghét và bao nhiêu quả cau yêu.
Lời giải :
Ta coi 17 quả cau là 17 ô vuông và 100 miếng cau chia cho 100 người là 100 viên sỏi. Trong 17 ô vuông, mỗi ô vuông rải 3 viên sỏi hết 51 viên sỏi, còn lại 49 viên sỏi. Rải tiếp 49 viên còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 7 viên. Khi đó, có 7 ô chứa 10 viên sỏi và 10 ô chứa 3 viên sỏi. Hay có 30 người tương ứng với 10 quả cau bổ 3 và 70 người ghét ứng với 7 quả cau bổ 10.
●●●●●
●●●●● ●●● ●●● ●●● ●●●●●
●●●●●
●●●●●
●●●●● ●●● ●●● ●●●●●
●●●●●
●●● ●●●●●
●●●●● ●●● ●●●●●
●●●●●
●●● ●●● ●●● ●●●●●
●●●●●

III. Giải bài toán tập hợp bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’
Bây giờ ta sẽ áp dụng tư tưởng ‘‘Ô ăn quan’’ để giải một lớp các bài toán tập hợp. Những bài toán này có thể được giải bằng phương pháp khác như suy luận logic, hệ phương trình hoặc biểu đồ Ven tuy nhiên các phương pháp đó thường là dài hoặc quá đi sâu vào tính kỹ thuật dẫn đến việc tiếp nhận nó thường khó khăn hơn phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’.
Bài toán 3.1: (Câu 3, trang 15, SGK Toán 10)Trong số 45 học sinh lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực loại giỏi, 20 bạn xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi:
a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi và hành kiểm tốt.
b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt.
Lời giải:
Vì có lớp 10 A có 45 học sinh nên ta vẽ 45 ô ứng với số học sinh. Ta lấy 15 bi đậm biểu thị cho 15 bạn học lực giỏi, 20 bi nhạt biểu thị cho 20 bạn hạnh kiểm tốt. Bây giờ ta sẽ rải 15 bi đậm vào các ô, sau khi rải hết bi đậm ta tiếp tục rải 20 viên bi nhạt, vì có 10 bạn là học lực giỏi và hạnh kiểm tốt nên ta rải 10 viên nhạt vào 10 ô đã có bi đậm, hết 10 ô đó ta rải vào các ô trống cho đến khi hết bi.
Vì để được khen thưởng thì cần có hoặc học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt, nên số ô có ít nhất 1 viên bi chính là số học sinh được khen thưởng.
Các bạn chưa có học lực giỏi và cũng chưa đạt hạnh kiểm tốt nghĩa là ứng với các ô không có viên bi nào.

a) Nhìn vào hình vẽ ta thấy có 25 ô có bi vậy có 25 học sinh được khen thưởng.
b) Nhìn vào bảng ta thấy có 20 ô không có viên bi nào vậy có 20 học sinh không đạt học lực giỏi và cũng không được hạnh kiểm tốt.
Bài toán 3.2: (Câu 7, trang 18, Toán 10 tập 1, Sách Cánh Diều) Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ. Biết tổng số học sinh của lớp 10B là 40, hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ nào? Có bao nhiêu học sinh không tham gia thể thao?
Lời giải:
Lớp có 40 học sinh nên ta sẽ vẽ thành 40 ô, tương ứng mỗi ô là một học sinh. Ta lấy 28 viên bi đậm tượng trưng cho 28 thành viên CLB thể thao, 19 bi nhạt tượng trưng cho 19 thành viên câu lạc bộ âm nhạc. Bây giờ ta sẽ rải đều 28 bi đậm vào 28 ô. Vì có 10 bạn thành viên cả hai câu lạc bộ nên ta rải vào 10 bi nhạt cho 10 ô đã có bi đậm, thừa 9 bi nhạt ta sẽ rải vào các ô trống còn lại đến khi hết bi.

Khi đó số các ô không có bi nào chính là số học sinh không tham gia câu lạc bộ nào cả. Số các ô không có bi đậm chính là số các học sinh không tham gia thể thao.
Nhìn vào hình vẽ ta sẽ thấy có 3 ô trống vậy có 3 em không tham gia câu lạc bộ nào.
Có 12 ô không có bi đậm vậy có 12 em không tham gia câu lạc bộ thể thao.
Bài toán 3.3: (Câu 8, trang 18, Toán 10 tập 1 Sách Cánh Diều) Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng ký tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa và 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.
Lời giải:
Ta vẻ bảng có 12 ô ứng với 12 học sinh, ta lấy 5 viên bi đậm ứng với năm thành viên tham gia múa, lấy các viên bi nhạt viên bi nhạt ứng với thành viên nhóm hát. Ta sẽ rải 5 viên bi đậm lên 5 ô, sau đó rải tiếp các viên bi nhạt như sau: rải 3 viên vào 3 ô có sẵn bi đậm, sau đó rải vào các ô trống còn lại và trừ lại 4 ô không rải là của các bạn không tham gia tiết mục nào. Khi đó số ô có chứa bi nhạt chính là số các học sinh tham gia tiết mục hát.
Ta có hình vẽ:

Nhìn vào bảng ta thấy có 6 ô chứa bi nhạt vậy có 6 em tham gia tiết mục hát.
Bài toán 3.4: (Câu 5, trang 25 sách Toán 10 – Chân trời sáng tạo) Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H :
a) Có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh ?
b) Có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này.
Lời giải:
Lớp có 35 học sinh nên ta sẽ vẽ 35 ô, mỗi ô ứng với một học sinh. Ta lấy 20 viên bi đậm ứng với thích môn Toán, lấy 16 viên bi nhạt ứng với thích môn Tiếng Anh. Bây giờ ta sẽ rải 20 bi đậm vào 20 ô, tiếp đó ta sẽ rải 16 bi nhạt. Vì có 12 học sinh thích cả 2 môn, nên ta sẽ rải 12 bi nhạt vào 12 ô đã có bị đậm, số bi nhạt còn lại ta rải vào các ô trống.
Sau khi rải xong ô nào mà có ít nhất một viên bi ứng với học sinh thích ít nhất một môn. Ô nào không có viên bi nào cả ứng với học sinh không thích môn nào.
a) Nhìn vào bảng ta thấy có 24 ô chứa ít nhất 1 viên bi nên có 24 học sinh thích ít nhất một môn Toán và Tiếng Anh.
b) Có 11 ô không có viên bi nào nên có 11 học sinh không thích môn nào cả.

a) Nhìn vào bảng ta thấy có 24 ô chứa ít nhất 1 viên bi nên có 24 học sinh thích ít nhất một môn Toán và Tiếng Anh.
b) Có 11 ô không có viên bi nào nên có 11 học sinh không thích môn nào cả.
Bài toán 3.5: (Câu 10, trang 27, sách Toán 10 – Chân trời sáng tạo) Lớp 10C có 45 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ học trên máy tính, 24 học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường và có 9 học sinh không tham gia cả hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 10C tham gia đồng thời cả hai cuộc thi.
Lời giải:
Ta vẽ bảng có 45 ô tương ứng với 45 em học sinh. Lấy 18 viên bi đậm tương ứng với 18 em thi vẽ đồ họa trên máy tính, 24 bi nhạt tương ứng với 24 em thi tin học văn phòng cấp trường. Bây giờ ta rải 18 viên bi đậm vào mỗi ô một viên. Sau khi hết bi đậm ta bắt đầu rải bi nhạt, vì có 9 em không thi môn nào nên ta trừ ra 9 ô không rải, ta bắt đầu rải bi nhạt vào các ô trống còn lại đến khi hết ô trống ta sẽ rải bi nhạt vào các ô đã có bi đậm đến khi hết bi nhạt.
Sau khi rải xong, những ô nào chứa hai viên một nhạt, một đậm chính là học sinh thi cả hai môn. Nên số các ô có hai viên bi chính là số các học sinh thi cả hai môn.

Nhìn vào bảng sau khi rải ta thấy có 6 ô chứa hai viên bi nên có 6 học sinh thi cả hai môn.
Bài toán 3.6: Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10A có 17 bạn được công nhận học sinh giỏi văn, 25 bạn học sinh giỏi toán. Tìm số học sinh đạt cả 2 giải văn và toán, biết lớp 10A có 45 bạn và có 13 bạn không đạt học sinh giỏi.
Lời giải:
Ta sẽ vẽ 45 ô ứng với 45 em học sinh lớp 10A, ta lấy 17 viên bi đậm tương ứng cho 17 giải học sinh giỏi văn, 25 viên bi nhạt tương ứng cho 25 giải học sinh giỏi Toán. Ta có hình vẽ