SKKN Dạy học giải quyết vấn đề theo định hướng PTNL thông qua bài Vectơ trong không gian – Hình học 11

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, toàn thể ngành giáo dục và xã hội đang bước vào giai đoạn cải cách chương trình, cải cách sách giáo khoa, điển hình với việc soạn thảo chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 và sách giáo khoa mới được giảng dạy cho học sinh lớp 1, lớp 6 và tiến tới là lớp 10. Theo như định hướng của chương trình mới thì Toán học tiếp tục là môn học chủ đạo, là một trong những môn học bắt buộc học sinh phải học từ lớp 1 đến lớp 12; qua đó góp phần khẳng định tính quan trọng và cần thiết của Toán học trong xu thế hội nhập, đổi mới và bắt kịp với sự phát triển với thế giới. Tuy nhiên, thực tế hiện nay việc dạy và học Toán vẫn còn nhiều bất cập. Rất nhiều người lên tiếng hoài nghi về việc học Toán để làm gì? Các bài viết trên các diễn đàn, các bài báo đều đề cập đến việc học Toán không có tác dụng cho cuộc sống sau này đối với học sinh, và bản thân tôi trong quá trình công tác giảng dạy cũng thấy được học sinh không mặn mà, không thích học môn Toán, luôn nghĩ Toán là một môn học khó, không thể học được, trong đó đặc biệt là lĩnh vực Hình học. Trong tiềm thức của nhiều học sinh, kể cả đối với học sinh khá và giỏi, dường như vẫn cứ e ngại Hình học hơn các phân môn khác trong Toán học, đặc biệt có cảm giác “sợ” khi bắt tay hay tiếp xúc với một vấn đề trong khi học Hình. Điều đó quả thật làm tôi cảm thấy trăn trở, và sau khi tìm hiểu thì tôi nhận thấy còn có một số nhược điểm trong việc dạy học môn Hình học hiện nay: một là cách dạy học quá hình thức, hai là không gợi mở được cảm hứng cho học sinh, ba là các kiến thức dạy học còn rời rạc, chưa liên kết với nhau và bốn là cách dạy học chú trọng nhiều vào sự “rập khuôn, máy móc, mẹo mực” mà chưa chú trọng đến bản chất của các khái niệm, các vấn đề cốt lõi. Chính vì vậy mà học sinh đa phần chỉ giải toán Hình theo sự chỉ dẫn từ các sách luyện thi, cố gắng ghi nhớ các “mẹo mực, tips giải nhanh” mà không hiểu bản chất, cũng không hiểu mình học như thế sau này làm được cái gì, và khi không tìm ra được các thủ thuật hay mẹo mực đó thì đâm ra nản lòng, sợ hãi môn Hình học nói riêng và cả Toán học nói chung.
Một trong những tác dụng quan trọng và nổi bật của môn Toán học đó chính là rèn luyện tư duy logic, tư duy phản biện, tư duy giải quyết vấn đề. Dạy học hiện nay nên đi theo hướng này nhằm làm nổi bật tác dụng của Toán học nói chung và Hình học nói riêng. Trong đó, nổi lên một xu thế dạy học đang được quan tâm nhiều là dạy học giải quyết vấn đề theo định hướng PTNL. Theo đó, dạy học theo định hướng PTNL là mô hình dạy học hướng tới mục tiêu phát triển tối đa phẩm chất và năng lực của người học thông qua cách thức tổ chức các hoạt động học tập độc lập, tích cực, sáng tạo của học sinh dưới sự tổ chức, hướng dẫn và hỗ trợ hợp lý của giáo viên. Còn dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học trong đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để giải quyết vấn đề thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác.

Thực ra, tất cả các kiến thức Toán học phổ thông đều rất tự nhiên, sinh động và gần gũi. Điển hình như phân môn Hình học là bộ môn xuất phát từ những nhu cầu về đo đạc, xây dựng các công trình xây dựng nên rất dễ lấy ví dụ thực tế, rồi từ đó cho học sinh cảm nhận được, bước đầu hiểu được sự tư duy để từ những cái thực tế đó rút ra được những tri thức khoa học như thế nào, rồi lại ứng dụng những tri thức đó vào giải quyết các vấn đề thực tiễn ra sao. Do đó, lĩnh vực Hình học rất thích hợp để áp dụng phương pháp dạy học vấn đề theo định hướng PTNL.
Trong chương trình Hình học THPT lớp 11 hiện hành, chương 3 về Vectơ trong không gian – Quan hệ vuông góc có thể nói là chương quan trọng nhất và có nhiều mối liên hệ đến chương trình Hình học 12. Thực tế dạy học chương này như đã nói, đa phần dạy học theo kiểu luyện thi nên chỉ dạy những bài nào quan trọng, không chú trọng những bài ít quan trọng hơn như bài “Vectơ trong không gian”, dạy học theo kiểu các mẹo mực để luyện thi nên học sinh trung bình thấy khó hiểu, học sinh khá và giỏi cũng cố gắng chạy đua theo mẹo mực giải toán mà không hiểu bản chất, không biết nên bắt đầu từ đâu khi tiếp cận với một bài toán hình học mới lạ. Thực chất, để học tập môn Hình học không gian ta có thể kế thừa các phương pháp như HHP đã được học ở các lớp dưới, bởi HHP là một bộ phận của Hình học không gian, trong đó có 2 phương pháp chủ đạo: Phương pháp sử dụng các định lý, phép biến hình trong nội bộ Hình học và phương pháp vectơ. Sử dụng vectơ để giải toán chính là tư tưởng của môn Hình học giải tích – ngành toán nghiên cứu các vấn đề Hình học thông qua các công cụ của Đại số và được thể hiện qua chương Tọa độ trong không gian. Do đó, tôi chọn đề tài “Dạy học giải quyết vấn đề theo định hướng PTNL thông qua bài Vectơ trong không gian – Hình học 11”.
2. Giả thuyết khoa học và dự báo những đóng góp mới của đề tài
– Về mặt lí luận: Góp phần hoàn thiện và đóng góp vào cơ sở lý luận dạy học PTNL nói chung và dạy học PTNL Hình học nói riêng. Đề xuất được quy trình dạy học giải quyết vấn đề theo định hướng PTNL.
– Về mặt thực tiễn: Bổ sung thêm một số hình thức dạy học giải quyết vấn đề theo định hướng PTNL bài “Vectơ trong không gian”- Hình học 11 ở trường THPT nhằm nâng cao hiệu quả dạy học. Xây dựng được Rubic đánh giá năng lực của học sinh trong dạy học giải quyết vấn đề bài “Vectơ trong không gian” – Hình học 11.

PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1. Khái niệm về hình thức tổ chức dạy học giải quyết vấn đề.
Việc vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề chính là giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề nhằm điều khiển các học sinh, giúp các em phát hiện vấn đề cũng như tự giác, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề đó một cách nhanh nhất, chính xác nhất. Qua đó giúp các em lĩnh hội tri thức và tự mình rèn luyện các kỹ năng cơ bản để đạt được các mục tiêu học tập tốt nhất. Dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề chính là việc giải quyết vấn đề được nêu ra bởi lẽ các tình huống, tư duy chỉ bắt đầu khi có vấn đề phát sinh mà thôi.
Trong phương pháp này bắt buộc có các vấn đề, tình huống có vấn đề, nó chính là một tình huống mà giáo viên đưa tới cho học sinh. Trong đó sẽ có những khó khăn mà các em học sinh không dễ dàng vượt qua, các em phải có quá trình tìm hiểu, phân tích, suy luận mới giải đáp được.
2. Khái niệm về dạy học theo định hướng PTNL
2.1. Khái niệm về năng lực
Về nguồn gốc, khái niệm năng lực (Tiếng Anh: Competency) bắt nguồn từ tiếng La tinh “competencia”. Trên thế giới và tại Việt Nam, có rất nhiều các quan điểm về năng lực. Nhưng tựu chung lại, năng lực có thể được hiểu một cách đơn giản là khả năng hoàn thành nhiệm vụ đặt ra, gắn với một loại hoạt động cụ thể nào đó. Năng lực là một yếu tố cơ bản của nhân cách nên mang dấu ấn cá nhân, thể hiện tính chủ quan trong hành động và được hình thành theo quy luật hình thành và phát triển nhân cách, trong đó tính tích cực hoạt động và giao lưu của cá nhân đóng vai trò quyết định. Năng lực ở mỗi con người có được nhờ vào sự kiên trì học tập, rèn luyện và tích lũy kinh nghiệm của bản thân trong hoạt động thực tiễn.
2.2. Phát triển năng lực
Là phát triển những khả năng hoàn thành nhiệm vụ đặt ra, phát triển nhân cách, trong đó tính tích cực hoạt động và giao lưu của cá nhân đóng vai trò quyết định. Phát triển sự kiên trì học tập, rèn luyện và tích lũy kinh nghiệm của bản thân trong hoạt động thực tiễn. Phát triển khả năng thực hiện thành công hoạt động trong bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và phát triển các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí…
2.3. Định hướng PTNL
Định hướng PTNL là đảm bảo hướng tới PTNL người học thông qua nội dung giáo dục với những kỹ năng, kiến thức cơ bản, hiện đại và thiết thực; giáo dục hài hòa đức, trí, thể, mỹ; chú trọng vào việc thực hành, vận dụng các kiến thức, kỹ năng đã được trang bị trong quá trình học tập để giải quyết các vấn đề trong học tập và đời sống hàng ngày; tích hợp cao ở các lớp học dưới, phân hoá dần ở các lớp

học trên. Thông qua hình thức tổ chức giáo dục và các phương pháp giáo dục, phát huy tiềm năng và tính chủ động của mỗi học sinh. Đồng thời có những phương pháp đánh giá phù hợp giá phù hợp với mục tiêu giáo dục đặt ra. Định hướng nhằm phát triển tối đa tiềm năng vốn có của từng đối tượng học sinh khác nhau, dựa trên các đặc điểm tâm – sinh lí, nhu cầu, khả năng, hứng thú và định hướng nghề nghiệp khác nhau của từng học sinh. Giúp học sinh phát triển khả năng huy động tổng hợp các kỹ năng, kiến thức… thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau để giải quyết một cách hiệu quả nhất các vấn đề xảy ra trong học tập và đời sống hàng ngày, được thực hiện ngay trong quá trình lĩnh hội tri thức và rèn luyện kỹ năng sống.
2.4. Dạy học theo định hướng PTNL
Như chúng ta đều biết và thừa nhận rằng mỗi học sinh là một cá thể độc lập, có sự khác biệt về trình độ, năng lực, nhu cầu, sở thích và nền tảng xuất thân. Dạy học theo định hướng PTNL thừa nhận thực tế này và tìm ra được những cách tiếp cận phù hợp nhằm phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất với mỗi học sinh thay vì giáo dục chủ yếu trang bị kiến thức như ở mô hình dạy học truyền thống.
Theo đó, dạy học theo hướng PTNL là mô hình dạy học hướng tới mục tiêu phát triển tối đa phẩm chất và năng lực của người học thông qua cách thức tổ chức các hoạt động học tập độc lập, tích cực, sáng tạo của học sinh dưới sự tổ chức, hướng dẫn và hỗ trợ hợp lý của giáo viên. Trong mô hình này, người học có thể thể hiện sự tiến bộ bằng cách chứng minh năng lực của mình. Điều đó có nghĩa là người học phải chứng minh mức độ nắm vững và làm chủ các kiến thức và kỹ năng (được gọi là năng lực); huy động tổng hợp mọi nguồn lực (kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng, hứng thú, niềm tin, ý chí,…) trong một môn học hay bối cảnh nhất định, theo tốc độ của riêng mình.

B. CƠ SỞ THỰC TIỄN.

1. Thực trạng về tổ chức dạy học HHKG nói chung và bài “Vectơ trong không gian” nói riêng theo định hướng PTNL cho HS ở trường THPT.
Hiện nay, cấu tạo chương trình HHKG ở trường THPT Việt Nam trong chương trình hiện hành theo đường xoắn ốc, học sinh được làm quen các kiến thức về HHKG ngay từ cấp Tiểu học đến THPT. Trong đó, chương trình HHKG ở trường THPT lớp 11 được trình bày trong hai chương, bao gồm các nội dung sau: giới thiệu các tiên đề thừa nhận của HHKG, biết vẽ hình biểu diễn của các hình đơn giản; biết xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện, nhận biết và chứng minh được mối quan hệ song song, vuông góc; tính được các góc và khoảng cách trong những bài HHKG đơn giản. Thực tế cho thấy, dạy học HHKG ở chương trình lớp 11 có nhiều khó khăn như sau:
Về phía học sinh: HS mới được chuyển tiếp từ HHP sang HHKG nên sự chuyển tiếp tư duy, khả năng tưởng tượng hình học, khả năng biểu diễn HHKG trên mp, khả năng nhìn hình biểu diễn còn có nhiều sai lầm và khó hiểu.

Về phía giáo viên: Từ sự khó khăn về chuyển tiếp tư duy từ HHP sang HHKG của HS khiến nhiều GV lúng túng trong việc giảng dạy các nội dung của HHKG sao cho dễ hiểu và có hiệu quả, thiếu sự liên kết và gây khó cho HS.
Những nhược điểm này đều được thể hiện rõ trong dạy học bài mở đầu của chương III trong chương trình HHKG lớp 11 hiện hành, bài “Vectơ trong không gian.” Cụ thể được thể hiện thông qua các số liệu điều tra khảo sát sau.
1.1. Số liệu điều tra khảo sát
1.1.1. Qua kết quả dạy thao giảng và dự giờ năm học 2019-2020 và 2020-2021.
Các tiết dạy chỉ chú trọng dạy học sinh nhớ công thức, biết cách tính toán, phân tích vectơ để làm bài tập chứ chưa dạy thật sâu để học sinh nắm vững bản chất, nguồn gốc hình thành các khái niệm, mối liên hệ với những vấn đề khác. Trong học tập học sinh có suy nghĩ học bài này như một nội dung bắt buộc phải học trong chương trình SGK, thậm chí cũng nghĩ bài này không quan trọng, không hiểu học để làm gì.
1.1.2. Khảo sát phỏng vấn, điều tra giáo viên và học sinh, cựu học sinh.
1.1.2.1. Về giáo viên
Qua làm phiếu khảo sát và phỏng vấn, điều tra 20 giáo viên tại trường THPT Đô Lương 2, THPT Phan Thúc Trực (phụ lục 5) khi dạy học bài: “Vectơ trong không gian”, tôi đã nhận được kết quả như sau:
Có đến 60% giáo viên thừa nhận rằng khi dạy học bài này có tâm lý coi nhẹ, chỉ dạy những công thức vectơ sau này sẽ dùng cho các bài sau; thậm chí khi dạy những đối tượng học sinh trung bình thì bỏ qua không dạy hoặc chỉ cho chép bài.
Có đến 20% giáo viên khi dạy học bài này thì chú trọng đến các bài toán dùng để luyện thi, để giải toán dành cho các đối tượng học sinh giỏi.
Số giáo viên còn lại thì dạy hết những nội dung có trong SGK, nhưng vẫn thừa nhận bài này chỉ có tác dụng là một phương pháp để chứng minh định lý có trong bài “Hai đường thẳng vuông góc; Đường thẳng vuông góc với mp”, ngoài ra không có tác dụng gì nhiều.
1.1.2.2. Về học sinh và cựu học sinh
Kháo sát 2 lớp 11A3 và 11B3 tại trường THPT Đô Lương 2 với số lượng 80 HS (phụ lục 6). Đa số HS (khoảng 80%) tham gia khảo sát và điều tra được hỏi cảm nhận khi học xong bài Vectơ trong không gian đều có tâm lý coi nhẹ bài này, nghĩ là bài không quan trọng. Còn đối với những HS giỏi (chiếm 20%) thì coi đây là một phương pháp để giải toán trong các đề thi HSG, đề thi THPTQG. Còn đối với những cựu học sinh, khi được hỏi thì nói rằng không được học bài này một cách kỹ càng, thậm chí còn không được học, và cũng nghĩ là không hiểu đưa nội dung bài này vào chương trình để làm gì.
2. Thực trạng về chất lượng học tập môn HHKG của HS ở nhà trường phổ thông.
Qua tìm hiểu, điều tra và khảo sát chất lượng học tập môn HHKG ở HS tại trường THPT Đô Lương 2 khối 11 và 12 thì tôi nhận thấy: Có đến 72% các em

đồng ý rằng học các lĩnh vực Giải tích hay Đại số dễ dàng hơn so với học HHKG; Có đến 57% các em cảm nhận thấy HHKG khó khăn, khó “nhìn hình”, thậm chí có không ít em còn không biết bắt đầu từ đâu khi gặp một bài toán HHKG, hay có tâm lý “sợ” học HHKG. Có 46% các em HS giải các bài HHKG theo các phương pháp, máy móc dập khuôn có sẵn, không hiểu cái mình đang học có mối liên kết hoặc ứng dụng gì. Điều đó cũng đúng đối với việc học nội dung bài “Vectơ trong không gian” nói riêng. Thực tế, nội dung học tập môn HHKG nói riêng ở chương trình THPT đều đơn giản, gần gũi, thậm chí là từ những quan sát thực tế mà hình thành nên những định nghĩa, định lý. Kể cả khái niệm hiện đại như Vectơ, thực chất cũng xuất phát từ những đại lượng thực tế như vận tốc, gia tốc, lực do không thể nào định rõ được đặc điểm chỉ bởi độ lớn bởi vì chúng còn có thể khác nhau về hướng, do đó người ta phải dùng đoạn thẳng có định hướng, chính là Vectơ. Cách sử dụng Vectơ, cũng như đưa nội dung bài Vectơ trong không gian ngay phần mở đầu của chương Quan hệ vuông góc, nối tiếp chương Quan hệ song song đã học từ trước là cả một sự chuyển tiếp, liên kết giữa hai nội dung Hình học lại với nhau, và còn là cầu nối giữa Đại số và Hình học. Có tầm quan trọng đến vậy, nhưng chất lượng HS khi học tập HHKG lẫn học tập nội dung về “Vectơ trong không gian” lại hời hợt, thiếu sự quan tâm, không có cảm hứng để học tập.
3. Thuận lợi và khó khăn trong việc áp dụng đề tài.
Việc áp dụng đề tài này có nhiều ưu điểm, đặc biệt là khắc phục được những nhược điểm trong cách dạy HHKG hiện nay như đã phân tích ở trên, cụ thể:
Thứ nhất, việc áp dụng đề tài này sẽ tránh việc dạy học hình thức, hướng dẫn học sinh đi từ cái đã biết đến cái chưa biết, áp dụng các thao tác tư duy, khiến học sinh cảm thấy được kế thừa, dễ tiếp thu, kích thích phát triển khả năng hình dung hình học.
Thứ hai, dạy học tạo được mối liên kết với những nội dung đã học, chỉ ra được ứng dụng và sự liên quan đến những vấn đề khác.
Thứ ba, đề tài này chú trọng đi từ nguồn gốc, bản chất của các khái niệm, định lý, chú trọng hiểu rõ bản chất vấn đề, tránh việc dập khuôn giải theo phương pháp như lâu nay HS vẫn thường làm.
Thứ tư, thông qua việc ứng dụng công nghệ thông tin, các thao tác tư duy, giúp tạo được cảm hứng học HHKG cho HS, là điều mà lâu nay chưa được chú trọng.
Thứ năm, đề tài này không cần quá nhiều công cụ hỗ trợ, và nó phù hợp với mọi trình độ của HS.
Điều khó khăn trong việc áp dụng đề tài này là đòi hỏi HS phải nhớ lại kiến thức về Vectơ trong mp đã được học từ lớp 10 và nhất là đòi hỏi GV phải đào sâu, phải hiểu bản chất của những nội dung mình đang dạy. Đứng trước thực trạng đó, tôi đã từng trăn trở và đóng góp một cách dạy học giúp HS có thêm tình yêu về Toán học, hiểu sâu về nguồn gốc và bản chất kiến thức, nâng cao trình độ tư duy, phân tích, lý luận, … giúp ích cho các em trong việc học tập HHKG.

CHƯƠNG 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1. Đề xuất quy trình dạy học GQVĐ theo định hướng PTNL.
Phương pháp dạy học GQVĐ theo định hướng PTNL là phương pháp đã được thảo luận từ lâu, tuy nhiên việc áp dụng PPDH này vào việc dạy học môn Toán ở các GV vẫn có sự khác biệt. Mặc dù có nhiều quan điểm khác nhau về hình thức dạy học này, tựu chung lại, theo tôi quy trình dạy học GQVĐ theo định hướng PTNL gồm có những bước cơ bản sau:
Bước 1: Tạo ra được tình huống gợi vấn đề
Đây là bước quan trọng nhất của PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL, có thể nói là điều kiện cần để áp dụng phương pháp này theo dạy học tích cực. Một tình huống gợi vấn đề trong dạy học là một tình huống phải thỏa mãn ba điều kiện:
Thứ nhất, đó phải là một tình huống có vấn đề, tức là một tình huống mà HS đến thời điểm đó chưa biết cách giải quyết.
Thứ hai, tình huống có vấn đề này phải gợi nhu cầu muốn tìm hiểu, khám phá, giải quyết ở HS. Bởi lẽ, trong cuộc sống, những tình huống có vấn đề xuất hiện rất nhiều, nhưng không phải và thậm chí là chỉ có số ít các em HS có sự tò mò, muốn tìm hiểu, muốn giải quyết, còn lại phần lớn HS là chỉ biết có vấn đề đó, nhưng không muốn tìm cách giải quyết vì nghĩ rằng vấn đề đó khó hoặc có giải quyết cũng không có tác dụng gì đối với mình cả; và như thế là việc tạo ra tình huống có vấn đề là vô nghĩa. Do đó, việc tạo ra tình huống có vấn đề cũng phải kích thích được ở HS sự tò mò, sự tìm hiểu, động lực để khám phá.
Thứ ba, phải tạo được niềm tin sẽ giải quyết được vấn đề ở HS. Nếu HS đã có sự tò mò, muốn tìm hiểu cách giải quyết rồi, nhưng nếu không nghĩ ra được cách giải quyết hoặc cảm thấy đó là vấn đề khó thì việc yêu cầu HS giải quyết vấn đề là không khả thi. Và nếu như vậy, thì ý nghĩa, tác dụng của PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL sẽ không được phát huy tốt nhất.
Nói tóm lại, một tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra ở HS những điều lý thú, những khiếm khuyết hoặc sự tò mò trong thực tiễn hoặc trong môn học mà HS nhận ra có thể giải quyết được; nhưng chưa giải quyết được ngay mà phải thông qua quá trình phân tích, nghiên cứu, học hỏi, suy nghĩ, đánh giá mới đưa ra được cách GQVĐ tốt nhất.
Bước 2: Trình bày lại vấn đề theo ngôn ngữ đơn giản, dễ hiểu và cô đọng nhất (nếu đó là một bài toán thì có thể diễn đạt lại bằng cách dùng các ký hiệu Toán học)
Bước 3: Lên kế hoạch để giải quyết vấn đề và trình bày giải pháp cuối cùng.
Quá trình này có thể nói là quá trình quan trọng nhất, có thể được trình bày ngắn gọn, trực quan thông qua biểu đồ sau:

Bước 4: Đánh giá, tổng kết
• Đánh giá, trình bày lại những kiến thức, phương pháp, cách thức tìm ra giải pháp tối ưu.
• Nêu lên thành kinh nghiệm, tri thức, phương pháp sẽ được áp dụng
nếu gặp vấn đề tương tự.
Bước 5: Vận dụng, mở rộng
• Tìm hiểu những ứng dụng của tri thức vừa nhận được vào những vấn đề có liên quan.
• Đề xuất những vấn đề mới liên quan nhờ những thao tác lập luận như
đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, … và thử tìm cách giải quyết chúng nếu có thể.
2.2. Các cấp độ và dạng thể hiện PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL.
PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL thực sự là phương pháp phù hợp với nhu cầu đổi mới giáo dục hiện nay, với mục tiêu PTNL, phẩm chất của HS, có nhiều ưu việt hơn so với PPDH theo kiểu truyền thống thiên về GV truyền thụ kiến thức một chiều cho HS. Tuy nhiên, tùy vào trình độ nhận thức của từng đối tượng người học, tùy vào đặc điểm nội dung mà có các dạng thể hiện

PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL khác nhau. Ở đây tôi sẽ trình bày theo quan điểm cá nhân từng dạng thể hiện nên được sử dụng như thế nào.
 Dạng thứ nhất: Giáo viên thuyết trình cả quá trình đặt và GQVĐ
 Là dạng thể hiện mà người GV đặt mình vào vị trí của một HS: từ khâu phát hiện ra vấn đề, đến việc đặt ra các câu hỏi, các giả thuyết, đến quá trình tại sao lại tìm ra được cách giải quyết, đến việc thử áp dụng cách giải quyết vào vấn đề xem khả thi không, quá trình thành công hay thất bại trên con đường tìm kiếm giải pháp tối ưu nhất, …
 Đây là dạng thể hiện ở cấp độ thấp nhất và phù hợp với đối tượng HS dưới trung bình; hoặc với những nội dung kiến thức có sự phức tạp nhất định đối với HS mà nếu để HS tự làm thì sẽ mất nhiều thời gian, công sức, gây lãng phí và lại có thể gây hiệu ứng ngược như: các e HS cảm thấy khó khăn, từ đó mất niềm tin; các em HS khác thì không thấy có tác dụng nên không tập trung; từ đó dẫn đến không khí học tập “chùng” xuống, mất sự hào hứng, khích lệ.
 Khi áp dụng dạng này nên có những khoảng thời gian để HS cảm nhận, suy nghĩ giống như GV; chứ không nên chỉ thuyết trình một mạch từ đầu tới cuối. Để làm tốt được dạng thể hiện này, người GV đóng vai trò chủ yếu, bài thuyết trình có hấp dẫn được HS, có tạo được sự cảm hứng, thú vị, tò mò của HS hoàn toàn phụ thuộc vào “nghệ thuật” của GV.
 Dạng thứ hai: Vấn đáp để đặt và GQVĐ
 Là dạng thể hiện mà GV đặt ra một chuỗi các câu hỏi nhằm dẫn dắt có chủ động HS đi từ việc phát hiện vấn đề đến cách tìm ra GQVĐ (đôi khi GV sẽ chủ động ở khâu gợi vấn đề).
 Dạng này áp dụng được cho những HS ở mức trên trung bình, hoặc những vấn đề mà HS có sự quen thuộc, đã có sẵn những tri thức làm nền tảng để từ đó thông qua các câu hỏi của GV giúp huy động những kiến thức đó cũ giải quyết những vấn đề mới.
 HS sẽ có sự chủ động nhất định trên con đường tìm kiếm giải pháp, có thể kết hợp với hoạt động nhóm để rèn luyện thêm cho các em kỹ năng làm việc nhóm.
 Dạng thứ 3: HS tự nghiên cứu đặt và GQVĐ
 Là dạng thể hiện mà HS (hoặc cùng với GV) phát hiện và phát biểu tình huống gợi vấn đề; sau đó người HS tự mình thực hiện khâu GQVĐ, trình bày lại lời giải và tự kiểm tra, đánh giá kết quả của mình.
 Dạng này được sử dụng với những HS có trình độ khá trở lên, với những HS có năng khiếu; hoặc với những vấn đề dễ nhận ra cách GQVĐ.
 Đây là dạng thể hiện ở mức cao nhất trong PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL, và là dạng thể hiện đích đến mà mọi người đều hướng tới.
Tuy nhiên theo quan điểm cá nhân của tôi, không nên quá “đeo đuổi” dạng

thể hiện thứ ba, mà nên có sự lồng ghép tất cả các dạng thể hiện của PPDH GQVĐ theo định hướng PTNL một cách phù hợp, linh hoạt, không nên quá cứng nhắc trong quá trình dạy học và làm sao để áp dụng được với mọi đối tượng HS. Bởi lẽ, năng lực phát hiện và GQVĐ là năng lực mà mọi người đều cần thiết trong công việc và cuộc sống; trong khi ở dạng thể hiện thứ ba lại chỉ có một số đối tượng có thể tự mình làm được. Do đó, cần lồng ghép tất cả các dạng thể hiện để HS có thể tìm ra được con đường GQVĐ phù hợp với bản thân.
2.3. Đề xuất một số phương pháp tổ chức dạy học giải quyết vấn đề theo định hướng PTNL
Ở đây, trong khuôn khổ của bản sáng kiến này, tôi chú trọng đề xuất các biện pháp, cách suy nghĩ giúp phát hiện và GQVĐ trong việc dạy học phần HHKG nói chung và bài “Vectơ trong không gian” nói riêng, trong chương trình Hình học 11.
2.3.1. Áp dụng kiến thức Toán học nhằm làm rõ bản chất của nội dung HHKG.
a. Định nghĩa không gian vectơ
Cho V là một tập hợp khác rỗng và K là một trường số (hữu tỉ, thực, phức). (Sau này ta còn gọi trường số K là vô hướng)
Trên V định nghĩa hai phép toán:
1. Phép toán cộng, ký hiệu “+”, được định nghĩa như sau: “+”: V × V → V
(u,v) u+v
2. Phép nhân với vô hướng, ký hiệu “.”, được định nghĩa như sau: “.”: K × V → V
(k,v) kv
Bộ ba đối tượng (V, +, .) được gọi là một không gian vectơ trên trường K, hay gọi là K-không gian vectơ nếu thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
(i) Phép cộng có tính chất giao hoán, nghĩa là: u+v = v+u,  u, vV.
(ii) Phép cộng có tính chất kết hợp, nghĩa là: (u+v)+w = u+(v+w),  u, v,wV
(iii) Tồn tại một phần tử  V sao cho: u+ =  +u,  uV
(iv) Tồn tại phần tử đối, nghĩa là  uV, tồn tại phần tử đối của u là  -uV sao cho: u+(-u) = (-u)+u = 
(v)  (u+v) =  u +  v,  u, vV;   K.
(vi)    u =  u +  u,  uV;   ,  K.
(vii) (   )u =  (  u),  uV;   ,  K.
(viii) 1u = u  uV
Ví dụ xét tập hợp các vectơ trong không gian với hai phép toán: phép toán cộng hai vectơ và phép toán tích của một số thực với một vectơ với quy tắc thực hiện phép toán như ta đã biết. Khi đó, tập hợp vectơ trong không gian cùng với hai phép toán cũng tạo thành một – không gian vectơ với:

– Phần tử  chính là vectơ-không.
– Phần tử đối của mỗi vectơ chính là vectơ đối của vectơ đó.
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể gọi mỗi phần tử của không gian vectơ là vectơ, mỗi số thuộc trường số K là vô hướng.
b. Định nghĩa số chiều của không gian vectơ

Ví dụ: Xét không gian vectơ là tập các vectơ trong không gian.
– Khi đó tập các vectơ trong mp cùng với hai phép toán cộng hai vectơ và tích một số thực với một vectơ trên vectơ trong không gian cũng tạo thành một không gian vectơ con.
– Ta nhận thấy hệ hai vectơ không cùng phương là một hệ độc lập tuyến tính đối với kgvt con các vectơ trong mp. Đồng thời, hệ này cũng là hệ sinh, nghĩa là mọi vectơ trong mp đều biểu diễn được qua hệ hai vectơ không cùng phương ban đầu. Vậy, hệ hai vectơ không cùng phương là cơ sở của kgvt con các vectơ trong mp và số chiều của kgvt con các vectơ trong mp bằng 2.
Đó cũng chính là định lý về biểu diễn duy nhất mọi vectơ qua hai vectơ không
cùng phương mà HS đã được học trong khi học về vectơ trong mp ở lớp 10.
– Xét hệ gồm ba vectơ a , b , c. Ta đã biết rằng hệ ba vectơ này sẽ độc lập tuyến tính nếu không có vectơ nào biểu diễn được qua hai vectơ còn lại (hiển nhiên ba
vectơ này đều khác 0 ). Không mất tính tổng quát, ta có thể đưa ba vectơ này về các vectơ bằng nó có chung gốc O bất kỳ để nghiên cứu. Khi đó, nếu hệ ba vectơ này phụ thuộc tuyến tính thì ba vectơ sẽ cùng nằm trên cùng một mp (dựa vào số chiều của kgvt các vectơ trong mp bằng 2). Do đó, hệ ba vectơ sẽ độc lập tuyến tính nếu các vectơ chung gốc O không cùng nằm trong mp. Ngoài ra, chúng cũng là hệ sinh. Do đó, tập các vectơ trong không gian có số chiều bằng 3 với cơ sở là hệ 3 vectơ có tính chất giá không cùng song song với một mp. Đó cũng chính là khái niệm ba vectơ đồng phẳng và định lý biểu diễn một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng trong không gian mà HS được học ở chương trình Hình học 11.
Sau khi đã hiểu rõ các kiến thức về Toán học làm cơ sở, áp dụng vào bài
Vectơ trong không gian như sau:
Điểm thứ nhất, khái niệm Vectơ không có gì quá xa lạ, vì nó là đại lượng đặc trưng cho những khái niệm quen thuộc trong Vật lý như lực, gia tốc, vận tốc, cường độ điện trường, hiệu điện thế, … Việc ứng dụng vectơ vào nghiên cứu hình

học là một tư tưởng theo xu thế hiện đại, với mục đích nghiên cứu hình học theo phương pháp mới là vectơ và hình học tọa độ.
Ngay từ chương mở đầu của Hình học 10, HS đã được học khái niệm vectơ trong mp với hai mục đích: thứ nhất là giới thiệu phương pháp vectơ và tọa độ hóa vào nghiên cứu HHP mà HS đã được học ở lớp dưới. Thứ hai để làm nền tảng cho sử dụng vectơ vào nghiên cứu HHKG sẽ được học ở lớp 11.
Điểm thứ hai, các nội dung kiến thức cần trang bị cho HS khi học về vectơ: