SKKN Rèn luyện kĩ năng phân tích vec tơ cho học sinh trung bình trường trung học phổ thông

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc dạy học theo chương trình sách giáo khoa đổi mới vừa mở ra một trang mới trong giáo dục phổ thông vừa đặt ra một thử thách không hề nhỏ đối với việc dạy học tại trường phổ thông. Đặc biệt tại trường PT dân tộc nội trú mà đối tượng chúng tôi giảng dạy trực tiếp là con em đồng bào dân tộc thuộc vùng 135 có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn. Các em tiếp cận chương trình sách giáo khoa mới lớp 10 trong khi lớp 9 các em vẫn đang học chương trình cũ và vẫn còn rất nhiều thiếu sót nên việc bắt nhịp cũng như tiếp cận vấn đề còn khá khó khăn, mới mẻ. Khái niệm vec tơ lên lớp 10 được xem như hoàn toàn mới với các em, mặc dù các em cũng đã được bắt gặp trong một số bài toán vật lí trước đó. Nhưng nhìn chung, khái niệm vec tơ lên lớp 10 các em mới được học một cách đầy đủ và bài bản hơn. Nếu xét về điểm toán với mức đầu vào như hiện tại thì đại đa số các em điểm toán ở mức 4-5 điểm, với mức xuất phát thấp như vậy nên việc thiết kế bài dạy và có chương trình rèn luyện kĩ năng cụ thể, khoa học và hiệu quả đối với các em rất quan trọng và đòi hỏi người giáo viên phải rất đầu tư, kiên trì và linh hoạt.
Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.
Trong đường lối đổi mới giáo dục đã khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Như vậy, quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học đã khẳng định, cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác.
Việc giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến 1
thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt. Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như học sinh đã dùng đúng phương pháp để giải đúng một vấn đề toán và cao hơn là một vấn đề nào đó ngoài thực tế mang tính lôgic toán.
Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một số kinh nghiệm trong việc giảng dạy về: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH
VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG «.
2. Điểm mới của đề tài
– Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Khơi gợi cho học sinh sự hứng thú trong giải toán, kích thích trí tò mò của học sinh giúp các em hiểu bài toán một cách tổng quát. Sau đó phân tích bài toán: đâu là giả thiết, đâu là kết luận. Tiếp theo giúp học sinh chuyển bài toán sang ngôn ngữ véctơ
– Hướng cho học sinh làm quen và sử dụng thành thạo “Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT”.
Bước 1: Chọn các véctơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ và các phép toán véctơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véctơ.
Bước 3: Giải bài toán véctơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.
– Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 10 của Bộ GD-ĐT và xuất
phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học bài tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
3.1. Phương pháp giải bài tập hình học phẳng bằng phương pháp phân tích véc tơ
2

3.2. Các bài tập hình học phẳng bằng phương pháp phân tích véc tơ hình học
lớp 10
4. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp véc tơ trong chương IV SGK Toán 10 – Kết nối tri thức.”Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV cần hình thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ theo các bước như sau:
Bước 1: Chọn các véctơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ và các phép toán véctơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véctơ.
Bước 3: Giải bài toán véctơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.”

B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Theo phương pháp dạy học toán mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức năng đó là:
– Chức năng dạy học.
– Chức năng giáo dục.
– Chức năng phát triển.
– Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
– Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học
sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
– Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
– Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
– Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
Trong các bài toán có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán. Để
4

làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:
– Đâu là ẩn số, đâu là dữ kiện.
-Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
-Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt
các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn.
Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau đó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho.
Bước 3
Thực hiện chương trình giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
– Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
– Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó.
– Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể).
– Khai thác kết quả có thể có của bài toán.
– Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài
toán.
Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan
trọng. Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho
một bài toán khác. Vì vậy “Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói 5

quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên”.
2. Cơ sở khoa học
Xuất phát từ các yêu cầu đối với học sinh về kiến thức cơ bản và kỹ năng cơ bản trong chương IV- SGK Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống là:
– Về kiến thức cơ bản: nắm được khái niệm véctơ, hai véctơ bằng nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa và tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vô hướng của hai véctơ.
– Về kĩ năng cơ bản: biết dựng một véctơ bằng véctơ cho trước, biết lập
luận hai véctơ bằng nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để
dựng véctơ tổng và giải một số bài toán, biết xác định số thực k đối với hai véc tơ

cùng phương a,b sao cho bka, vận dụng tính chất cơ bản của tích vô hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần và đủ của hai véctơ (khác véctơ-không) vuông góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức về véctơ để nghiên cứu một số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng của ba điểm, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, giao điểm hai đường chéo của hình bình hành…
3. Thực trạng
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.
Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh được học về véctơ, các phép toán trên véctơ, các tính chất cơ bản của tích vô hướng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là những hệ thức quan trọng trong tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, công thức trung tuyến, các công thức tính diện tích tam giác…học sinh phải biết tận dụng các kiến thức cơ bản nói trên để giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế. PPVT có nhiều tiện lợi trong
6

việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là véctơ, các phép toán trên các véctơ. Các phép toán trên các véctơ lại có một số tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh đã học trước đó, do đó học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài toán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng PPVT để giải một số bài tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn hơn.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ véctơ” và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói thông thường sang dạng véctơ để có thể vận dụng công cụ véctơ trong giải toán.
4. Áp dụng trong thực tế dạy học
Ở lớp 10 học sinh được học về véc tơ, các phép toán trên véctơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vô hướng của hai véctơ), sau đó là trục, hệ trục toạ độ, toạ độ của điểm, toạ độ của véc tơ và một vài ứng dụng đơn giản của phương pháp toạ độ. Tuy học sinh được học cả hai phương pháp: Véctơ và toạ độ, phương pháp chủ yếu vẫn là phương pháp véctơ. Bởi vì các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn được xây dựng nhờ véctơ cùng các phép toán, đặc biệt là tích vô hướng của hai véctơ được định nghĩa theo một đẳng thức véctơ… Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải các bài toán, đối với học sinh lớp 10 khi giảng dạy GV cần lưu ý những vấn đề sau:
4.1. Áp dụng quy trình 4 bước trong dạy giải bài tập toán GV cần hình thành cho học sinh các bước giải bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ theo các bước như sau:
Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy
trình bốn bước giải bài toán bằng PPVT.
7

Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT.
Bước 1: Chọn các véctơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ và các phép toán
véctơ để biểu diễn, chuyển ngôn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véctơ.
Bước 3: Giải bài toán véctơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.
Giáo viên cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho học sinh
khả năng thực hiện bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT thông qua
các bài tập, có thể minh hoạ quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM và
K làđiểmtrêncạnh AC saocho AK13AC.
  
a)TínhBI theoBA,BC.   
b) Tính BK theo BA, BC .
c) Chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng.
Lời giải
Chú ý: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi vectơ c luôn
tồntạiduynhấtcặpsốthực (m;n) saocho cmanb.  
toán đều phân tích được (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ này.
Bước 1: Chọn hai véc tơ BA, BC làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véctơ trong bài
Bước 2: Điều phải chứng minh là ba điểm B, I , K thẳng hàng tương  
đươngvớiviệcchứngminh BImBK, mlàhằngsốkhác0.
Bước 3: Giả thiết cho I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạ