SKKN Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ

PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong những năm gần đây, tốc độ phát triển nhanh chóng của tri thức nhân loại và sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin làm cho mô hình dạy học theo tiếp cận nội dung không còn phù hợp nữa.
Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực.”
Ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn toán để đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của môn toán như: năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).
Tư duy sáng tạo của con người là “chìa khóa” đưa thế giới không ngừng phát triển, nhờ có tư duy sáng tạo mới giúp con người khám phá, phát minh ra những công trình vĩ đại làm thay đổi thế giới. Phát triển tư duy sáng tạo cho HS (HS) là việc làm rất quan trọng và cần thiết trong quá trình dạy học, giáo dục HS. Phát triển tư duy sáng tạo sẽ giúp HS tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, phát hiện cái mới; sáng tạo sẽ giúp HS chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục những khó khăn trong học tập. Cao hơn tư duy sáng tạo sẽ giúp HS tìm ra con đường ngắn nhất, nhanh nhất để đạt thành công trong học tập, trong cuộc sống.
Trong chương trình toán học phổ thông, bài toán max – min trong hình học toạ độ đóng một vai trò khá quan trọng. Nó thường xuất hiện là câu khó trong các đề thi học kỳ, thi vào các trường Chuyên, thi HSG các cấp, thi tốt nghiệp THPT. Max – min trong hình học toạ độ là phần kiến thức có nhiều tiềm năng trong việc phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho HS, nội dung xuyên suốt từ hình học Oxy ở lớp 10 cho đến Oxyz ở lớp 12. Mặc dù tầm quan trọng của các bài toán max – min trong hình học toạ độ lớn như thế, nhưng nó không được dạy như một chủ đề biệt lập, nó chỉ được lồng ghép vào một số bài toán trong chương trình. Chính vì vậy HS không được học một cách bài bản, không xâu chuỗi được kiến thức trong khi nội dung kiến thức chuyên đề này xuyên suốt trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông.
Với những trăn trở như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ” nhằm khơi gợi tư duy, định hướng giải toán trong hình học toạ độ với mong muốn giúp các em HS hứng thú và đạt hiệu quả cao hơn khi học chủ đề này.
1
II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
– Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học chủ đề max – min trong hình học toạ độ ở trường THPT.
– Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến chủ đề max – min trong hình học toạ độ qua SGK và các tài liệu tham khảo.
– Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán cực trị trong hình học toạ độ phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng HSG.
– Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, giáo viên toán qua đó thấy được hiệu quả của
việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung cực trị trong hình học toạ độ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói riêng cũng như học môn toán nói chung.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
– HS bậc trung học phổ thông.
– GV dạy toán bậc trung học phổ thông.
– Tài liệu về PPDH, hình học Oxy, Oxyz.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
– Phương pháp điều tra, phân tích.
– Phương pháp thống kê, xử lí số liệu – Phương pháp nghiên cứu tài liệu
– Phương pháp phỏng vấn.
– Phương pháp phân tích – tổng hợp
– Phương pháp thực nghiệm.
V. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận.
2

PHẦN II. NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận của đề tài 1.1.Tư duy
1.1.1. Khái niệm tư duy
Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy (TD) là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng”
Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một
cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
TD mà con người là chủ thể chỉ nảy sinh khi gặp tình huống “có vấn đề”. Tuy nhiên vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân (cái gì đã biết, cái gì còn cần tìm kiếm), đồng thời nằm trong ngưỡng hiểu biết của cá nhân và là nhu cầu động cơ tìm kiếm của cá nhân. Tiếp theo, TD luôn phản ánh cái bản chất nhất chung cho nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó những cái cụ thể, cá biệt. Ngoài ra, TD luôn phản ánh gián tiếp hiện thực. Trong TD, có sự thoát khỏi những kinh nghiệm cảm tính.
1.1.3. Các thao tác của tư duy
a. Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh
trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người. Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết; Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
b. Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác sau:
+ Phân tích và tổng hợp. Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng)
3

những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất.
+ So sánh và tương tự. So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng. Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia.
+ Trừu tượng hóa. Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động).
+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu.
1.2. Các vấn đề về tư duy sáng tạo 1.2.1. Khái niệm tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy có tính linh hoạt, độc lập và tính phê phán, đặc trưng bởi sự sản sinh ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm hướng đi mới, cách giải quyết mới và tạo ra kết quả mới.
1.2.2. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo
– Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng khi gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ về quen. Vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản, các kinh nghiệm, kĩ năng đã có vào giải toán.
Có thể thấy rằng tính mềm dẻo (linh hoạt) của TD có những đặc điểm sau:
+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác;
+ Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại;
+ Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có vào trong những điều kiện, hoàn cảnh mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi;
+ Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, phương pháp, cách thức suy nghĩ đã có;
+ Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện đã quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã quen biết.
4

– Tính nhuần nhuyễn: Biết xét bài toán dưới nhiều góc độ, từ đó đề xuất được các cách giải khác nhau cho một bài toán và lựa chọn được cách giải tối ưu. Tính nhuần nhuyễn của TD thể hiện ở các đặc trưng sau:
+ Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau; có cái nhìn đa chiều, toàn diện đối với một vấn đề;
+ Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và nhiều tình huống khác nhau;
+ Khả năng tìm được nhiều giải pháp cho một vấn đề từ đó sàng lọc các giải pháp để chọn được giải pháp tối ưu.
– Tính độc đáo: Biết tìm ra những phương thức giải quyết lạ, độc đáo để cải tiến
những cách giải đã có để trở nên tối ưu hơn.
Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau:
+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và kết hợp mới;
+ Khả năng tìm ra các mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có quan hệ với nhau;
+ Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Ngoài ra, TDST còn được đặc trưng bởi nhiều yếu tố khác. Chẳng hạn như: tính chi tiết: là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng; tính nhạy cảm: là năng lực phát hiện vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, bất hợp lý một cách nhanh chóng, có sự tinh tế của các cơ quan cảm giác, có năng lực trực giác, có sự phong phú về cảm xúc, nhạy cảm, cảm nhận được ý nghĩ của người khác
Các đặc trưng cơ bản của TDST không tách rời nhau mà trái lại, chúng có quan hệ mật thiết, bổ sung và hỗ trợ lẫn nhau. Tính mềm dẻo của tư duy tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp dưới các góc độ khác nhau, nhờ đó đề xuất được phương án hay, đặc sắc.
2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.
Để tìm hiểu cụ thể và có cái nhìn đầy đủ, chính xác thực trạng việc phát triển tư duy
sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ, chúng tôi tiến hành điều tra, khảo sát bằng phiếu câu hỏi (ở phần phụ lục) với đối tượng là 300 học sinh và 86 giáo viên của các trường THPT tại địa bàn thành phố Vinh và phụ cận. Sau khi điều tra tôi thu được kết quả cụ thể sau:
2.1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên
– Hầu hết giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc phát triển, mở rộng và tổng quát bài toán nhằm phát triển TDST cho HS.
– Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, giáo viên chỉ tập trung chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết đã học. Nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật lên được mối quan
5

hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước đó.
– GV cũng chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không dám để HS tự do tranh luận vì sợ làm mất thời gian, không hoàn thành được bài dạy (cháy giáo án). Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Tức không phát huy được các yếu tố của TDST ở HS.
– GV chưa chú ý tạo ra các điều kiện để kích thích TDST của HS, chẳng hạn như chưa
tạo ra sự thi đua, thử thách, kích thích động cơ sáng tạo của HS, chưa chú ý rèn luyện các biểu hiện của tính linh hoạt, mềm dẻo, thuần thục trong giải quyết vấn đề, tính độc đáo, hoàn thiện, chi tiết trong sản phẩm bài làm của HS, mà đây chính là các yếu tố đặc trưng cơ bản của TDST.
2.2. Thực trạng học tập của HS
Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên địa bàn tỉnh Nghệ An thì thu được các thông tin:
– Rất nhiều HS còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo: nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế.
– Đa số HS thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, rất ít HS nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên
kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan.
– HS chưa hứng thú với chủ đề max – min trong hình học toạ độ vì tâm lý nghĩ rằng chủ đề này rất khó nên không thể chinh phục được.
– Không biết khai thác giả thiết để tìm chìa khoá lời giải, lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào.
Vậy làm thế nào để khắc phục được thực trạng đó? Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp cụ thể đã được áp dụng có hiệu quả tại đơn vị – trường THPT Huỳnh Thúc Kháng.
6

B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS THPT THÔNG QUA GIẢI TOÁN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ
1. Các căn cứ và nguyên tắc để đề xuất giải pháp.
– Đảm bảo tính khách quan, khoa học
Cần xác định thái độ khách quan, khoa học trong nghiên cứu. Các giải pháp đề xuất cần được dựa trên cơ sở hoạt động nghiên cứu kỹ lưỡng về lý luận và thực tiễn tại trường THPT. Trong quá trình đó cần tuân thủ nghiêm ngặt quy trình khoa học khi xử lý thông tin, dựa trên các số liệu điều tra, khảo sát, có đầy đủ các căn cứ
cần thiết khi ra quyết định. Các giải pháp cần được kiểm chứng, khảo nghiệm thực tế, có khả năng thực hiện cao.
– Đảm bảo tính thực tiễn
Các giải pháp đề xuất cần dựa trên cơ sở thực tiễn tình hình phát triển giáo dục của thế giới, đất nước, địa phương, điều kiện thực tế của nhà trường, xuất phát từ sự phân tích thực trạng và các nguyên nhân cụ thể. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi đề xuất các giải pháp được thực hiện có hiệu quả tại trường THPT Huỳnh Thúc Kháng. Điều đó cũng có nghĩa là các giải pháp phải đáp ứng mục tiêu đào tạo và phù hợp với điều kiện cụ thể của nhà trường.
– Đảm bảo tính khả thi
Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo tính khả thi, có khả năng áp dụng vào thực tiễn một cách thuận lợi, hiệu quả, phù hợp với tình hình thực tế cơ sở giáo dục. Khi đề xuất, cần tính toán, cân nhắc đầy đủ các điều kiện thực tiễn của nhà trường như tình hình đội ngũ, đối tượng HS… Trong quá trình thực hiện, các giải pháp có thể được điều chỉnh, bổ sung, cải tiến để ngày càng hoàn thiện, có khả năng ứng dụng trong một phạm vi rộng lớn hơn.
– Đảm bảo yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay
Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo phù hợp với yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay. Ngày nay, trước ngưỡng cửa của thế kỷ XXI – đòi hỏi nhà trường phổ thông phải đào tạo ra những con người không những nắm vững được những kiến thức khoa học mà loài người đã tích lũy được mà còn phải có những năng lực sáng tạo giải quyết những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nước, của xã hội.
Như vậy, PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động để phát huy TDST cho các em.
2. Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDST cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ.
Biện pháp 1. Củng cố kiến thức nền liên quan và tiếp cận các dạng bài toán max – min thường gặp trong hình học tọa độ từ đó hoàn thiện phương pháp giải mỗi dạng.
7

Như chúng ta đã biết, các bài toán toán max – min trong hình học nói chung, max – min trong hình học toạ độ nói riêng hội tụ rất nhiều kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải toán sơ cấp. Vì vậy, HS giải toán max – min trong hình học phải huy động rất nhiều kiến thức liên quan, qua đó các em cũng được củng cố, khắc sâu kiến thức toán rất nhiều. Đây cũng là một mảng kiến thức hay được đề cập trong các đề thi HS giỏi và các câu vận dụng cao ở đề thi TN THPT. Tầm quan trọng của nó không nhỏ, tuy nhiên HS và GV cũng chưa thực sự quan tâm nhiều về chủ đề này. Điều này dẫn đến việc giải các bài tập max – min trong hình học toạ độ HS còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của HS, từ đó HS tiếp thu kiến thức một cách hình thức và thụ động. Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người GV cần phải có phương pháp dạy học tích cực, quan tâm hơn nữa phần max – min trong hình học toạ độ, giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp của chủ đề này, ứng dụng của nó trong thực tiễn từ đó làm cho HS thấy được sự thiếu hụt tri thức của bản thân và có nhu cầu muốn được bù đắp sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức của bản thân mình. Hầu hết các bài toán về max – min trong hình học toạ độ đều liên quan đến các kiến thức hình học, các bất đẳng thức Đại số. Muốn giúp các em HS phát triển tư duy sáng tạo trong khi học chủ đề này thì cái đầu tiên là phải có một nền “Kiến thức vững chắc”, bởi mỗi quá trình sáng tạo bất kỳ đều bắt đầu từ sự tái hiện cái đã biết.
1.1. Một số kiến thức liên quan thường dùng để giải bài toán max – min hình học + Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu :
Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng, thì :
– Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
– Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại. + Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
– Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.
– Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau nếu cạnh thứ ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng lớn hơn và ngược lại. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc.
– Bất đẳng thức 3 điểm: cho 3 điểm A,B,C ta có: AB + AC  BC “=” A,B,Cthẳnghàngvà A nằmgiữa B và C.
AB − AC  BC ; ” = ”  A, B,C thẳng hàng và A nằm ngoài B và C – Tổng quát: cho n điểm A;A …,A
12n
Tacó:AA+AA+…+A AAA.DấubằngxảyraA;A…,A thẳnghàngvà
1223 n−1n1n 12n sắp xếp theo thứ tự đó.
+ Bất đẳng thức trong đường tròn:
– Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
– Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách đến tâm lớn hơn và ngược lại.
– Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn.
– Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn.