SKKN Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những vấn đề cốt lõi trong đổi mới phương pháp dạy học hiện nay đó là dạy học hướng tới việc hình thành và phát triển năng lực cho người học, trong đó năng lực tư duy sáng tạo và giải quyết vấn đề là rất quan trọng.
Tuy nhiên thực trạng hiện nay cho thấy, trong nhà trường phổ thông nhiều giáo viên vẫn còn gặp khá nhiều khó khăn trong việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực trong quá trình giảng dạy, vì thế chưa phát huy được nhiều ở học sinh sự chủ động, tính tích cực, tự giác, học sinh ít được tham gia vào quá trình hình thành kiến thức, tri thức.
Dạy học bài tập toán có nhiều cơ hội để góp phần hình thành và phát triển năng lực cho học sinh. Trong học tập bài tập toán, nhiều học sinh đã làm tốt các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu trong sách giáo khoa, nhưng khi làm các bài tập có tính vận dụng thì lại gặp nhiều khó khăn. Một trong những nguyên nhân quan trọng dẫn đến những khó khăn đó là do trong quá trình dạy học bài tập toán, giáo viên chưa quan tâm đến việc định hướng học sinh tìm ra cách thức để khai thác kiến thức cơ bản, phát triển các bài tập theo hệ thống logic, các em không biết rõ nguồn gốc của những bài toán đó từ đâu ra và giải bài toán như thế nào, do đó không khơi dậy được niềm đam mêm học tập của học sinh cũng như không tạo được nhiều cơ hội để góp phần hình thành và phát triển năng lực cho học sinh.Ngoài ra việc thiếu động cơ học tập, thiếu sự định hướng về tương lai dẫn đến các em học tập hời hợt nên ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục đại trà.
Từ những lí do nêu trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Khai thác và phát triển một số bài toán trong sách giáo khoa toán 10 để tạo hứng thú học tập, góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh”.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào những khó khăn học sinh gặp phải trong quá trình học tập môn toán, khi bắt gặp một bài toán khó. Qua đó đưa ra giải pháp để khắc phục khó khăn của học sinh trong quá trình học tập và để hình thành cho các em những phẩm chất năng lực cần thiết.
2.2. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu dựa trên thực tiễn giảng dạy các lớp nguồn, ý kiến khảo sát của các em có học lực yếu, trung bình, khá và giỏi lớp 10. Qua đó tôi tập trung vào giải pháp tháo gỡ khó khăn cho các em học sinh. Giải pháp tôi đưa ra chủ yếu ở hai phần chính:
Phương pháp tạo hứng thú, hướng dẫn các em cách phân tích và xử lí số liệu điều tra, cách tạo dựng một chuyên đề về toán học qua đó tạo niềm say mê học toán ở các em.
Sử dụng các bài tập trong sách giáo khoa mà các em có thể làm được ở mức độ nhận biết, thông hiểu. Qua đó thay đổi, thêm bớt một số dữ kiện bài toán để được một bài toán mới ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao.
Từ đó hình thành ở các em năng lực tư duy sáng tạo, logic để liên kết những dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa từ đó hình thành hướng giải quyết vấn đề cho những bài toán ở mức độ vận dụng.
3. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là chỉ ra những khó khăn học sinh gặp phải trong quá trình học tập môn toán. Lí do các em chưa yêu thích môn toán và đưa ra giải pháp để giúp học sinh khối 10 tiếp cận các bài tập ở mức độ vận dụng một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ đó giúp các em tự tin, có hứng thú trong học tập. Qua đó hình thành ở các em những năng lực và phẩm chất cần thiết để học tập và trong cuộc sống. Ngoài ra đề tài làm nổi bật được những khó khăn mà học sinh thường mắc phải trong quá trình học tập môn toán . Để từ đó hiểu được tâm lí của các em học yếu môn toán nhằm giúp bản thân điều chỉnh được phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng.
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tiến hành lấy số liệu thống kê số học sinh thích học môn Toán, số học sinh không thích học môn Toán. Lí do thích học môn toán và lí do không thích học môn toán của học sinh khối 10 năm học 2021- 2022. Qua đó thống kê những khó khăn chủ yếu học sinh thường gặp phải trong quá trình học tập môn Toán.
Tìm hiểu và nghiên cứu tài liệu, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ đó hình thành lên giải pháp giải quyết khó khăn cho các em học sinh và giáo viên trong khi học tập, dạy học ở trường trung học phổ thông. Ghi chép và tổng hợp các kết quả thực nghiệm thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau:
– Nghiên cứu lý luận
– Điều tra quan sát thực tiễn  – Thực nghiệm sư phạm.
5. Tính mới của đề tài
– Điểm mới thứ nhất của đề tài là phân chia lớp thành 3 nhóm để các em tự thu thập phiếu điều tra về tình hình học tập, những khó khăn học sinh thường gặp khi học tập môn Toán của học sinh khối 10 năm học 2021 – 2022. Cho các em có cơ hội được tự điều tra và tự tổng hợp số liệu điều tra qua đó các em sẽ có được những giải pháp để hạn chế những khó khăn thường gặp.
– Điểm mới thứ hai là giúp các em có thể tự phát triển các bài toán ở mức độ nhận biết, thông hiểu thành các bài toán ở mức độ vận dụng. Qua đó các nhóm học sinh có thể tự ra đề cho nhau trong quá trình học tập để tạo thêm sự hứng thú và sáng tạo trong khi học của các em.
– Điểm mới thứ ba là dựa vào kết quả điều tra, báo cáo của các nhóm giáo viên đúc rút thành những giải pháp cụ thể để các em học tập một cách hiệu quả nhất.
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở khoa học
– Dựa vào kết quả khảo sát tình hình học tập môn Toán của học sinh lớp 10 năm học 2021-2022.
– Dựa vào các kiến thức cơ sở, các khái niệm cơ bản.
– Dựa vào các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
– Dựa vào các đề thi đại học, thi trung học phổ thông quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh các năm.
– Dựa vào việc phân nhiệm vụ để các em tự nghiên cứu và hoàn thành chủ để của nhóm qua đó các em được tự hoạt động, tự điều tra, phân tích dữ liệu điều tra, tự đưa ra ý kiến bản thân để hình thành ở các em niềm yêu thích toán học. Để từ đó phát triển thành niềm đam mê, tìm tòi sáng tạo trong học toán và trong cuộc sống.
2. Quá trình nghiên cứu
2.1. Phân chia nhóm nghiên cứu.
Chia lớp thành 3 nhóm và phân chia nhiệm vụ cho các nhóm như sau:
Nhóm 1: Khảo sát về phương trình bậc hai một ẩn.
Nhóm 2: Khảo sát về bất đẳng thức.
Nhóm 3: Khảo sát về phương trình đường thẳng.
+ Mỗi nhóm sẽ khảo sát học sinh khối 10 gồm 4 lớp gồm 2 lớp nguồn 10A1, 10A2 và hai lớp đại trà10C3, 10C4 về tình hình học toán theo mẫu.
+ Sau khi có kết quả điều tra khảo sát các nhóm sẽ tự phân tích và đưa ra kết luận về khó khăn của học sinh gặp phải và giải pháp tháo gỡ khó khăn bằng một buổi thuyết trình trên lớp. Dựa vào đó các nhóm còn lại, giáo viên giảng dạy đưa ra nhận xét và đi đến kết luận cuối cùng cho từng nhóm.
+ Dựa vào những phân tích trên các nhóm sẽ nghiên cứu chủ đề của nhóm để đưa ra hệ thống kiến thức cơ bản, những bài toán có tính chất xâu chuỗi đơn giản để học sinh có sự tìm hiểu về toán học qua đó hình thành và vun đắp đam mê toán học cho các em.
PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH KHỐI 10
Khảo sát về:…………………….
Họ và tên:……………………………………………..Lớp:……
Học sinh trả lời các câu hỏi khảo sát sau:
Nội dung điều tra Không bao giờ Thỉnh Thoảng Thường xuyên
1. Khi giải toán em có khó khăn trong việc tìm lời giải cho một bài toán không?
2. Em có đọc trước bài mới ở nhà không
3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài toán không?
4. Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự đoán kết quả để tìm lời giải không?
5. Em tự làm được bài tập trong SGK.
6. Em tự làm được bài tập trong SBT.
7. Em có làm bài tập trong sách tham khảo không?
8.  Em có làm bài tập trên các diễn đàn Toán học, trên các nhóm Toán học…không ?
9.  Em có yêu thích học về phần….
10. Em có định hướng về công việc của bản thân trong tương lai không?
Những khó khăn em thường gặp khi giải toán.
…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………
Sau khi tiến hành khảo sát các nhóm sẽ tổng hợp kết quả theo mẫu bảng.
2.2. Phát triển các bài toán từ bài tập về phương trình bậc hai một ẩn. Bảng tổng hợp kết quả điều tra khảo sát nhóm 1 phần phương trình bậc hai một ẩn.

Nội dung điều tra Không bao giờ Thỉnh Thoảng Thường xuyên
Số lượng Số lượng Số lượng
A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4 A1,A2 C3,C4
1. Khi giải toán em có khó
khăn trong việc tìm lời giải cho một bài toán không? 2/80 0/80 60/80 30/80 18/80 50/80
2. Em có đọc trước bài mới ở nhà không? 5/80 30/80 25/80 35/80 50/80 15/80
3. Em có phân tích đề bài để giải quyết vấn đề của bài toán không? 2/80 40/80 10/80 30/80 68/80 10/80
4. Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xét các trường hợp đặc biệt hay dự đoán kết quả để tìm lời giải không? 15/80 60/80 45/80 15/80 20/80 5/80
5. Em tự làm được bài tập trong SGK. 20/80 50/80 20/80 20/80 40/80 10/80
6. Em tự làm được bài tập trong SBT. 23/80 60/80 20/80 15/80 37/80 5/80
7. Em có làm bài tập trong sách tham khảo không? 40/80 70/80 25/80 6/80 55/80 4/80
8.  Em có học tập trên các diễn đàn Toán học, trên các nhóm Toán học…không ? 25/80 65/80 45/80 13/80 40/80 2/80
9. Em có yêu thích học về phần phương trình bậc hai một ẩn? 0/80 50/80 20/80 20/80 60/80 10/80
10. Em có định hướng về công việc của bản thân trong tương lai không? 5/80 30/80 25/80 40/80 50/80 10/80
2.2.1. Những khó khăn học sinh gặp phải khi giải bài toán về phương trình bậc hai một ẩn
Qua kết quả điều tra khảo sát ở hai nhóm lớp, nhóm chúng tôi rút ra được những khó khăn thường gặp của học sinh như sau:
a) Đối với học sinh yếu, kém
– Chưa xác định được động cơ học tập của bản thân
– Chưa nắm chắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
– Phụ thuộc nhiều vào máy tính dẫn đến hay quên công thức, khi áp dụng với dạng tham số phải tự tính nên hay sai dẫn đến thiếu tự tin vào bản thân.
– Do học tập trực tuyến cũng ảnh hưởng đến khả năng tiếp thu kiến thức mới.
– Chưa định hướng được cách giải khi gặp bài toán mới.
– Chưa biết cách liên kết kiến thức cơ bản với nhau khi giải toán.
– Kiến thức nền khi học các lớp dưới yếu dẫn đến thiếu tự tin khi giải toán và trình bày lời giải.
b) Đối với học sinh khá, giỏi
– Có nhiều dạng phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn mà các em không biết cách tổng hợp dẫn đến việc nhớ rập khuôn nhiều dạng toán do đó không biết cách sử dụng linh hoạt khi bị thay đổi dự kiện cũng như câu hỏi.
– Số lượng sách tham khảo nhiều, nhiều hình thức tự học trên mạng nhưng chưa có sự định hướng của giáo viên dẫn đến các em không biết lựa chọn sách phù hợp.
– Việc ít rèn luyện khả năng tính nhẩm của bản thân nên khi làm bài trắc nghiệm hay sai dẫn đến thiếu tự tin học tập. Do đó cũng ảnh hưởng đến đam mê học toán của các em.
2.2.2. Đưa ra hệ thống dạng toán giải phương trình cơ bản
a) Công thức nghiệm
Phương trình   có
+Nếu  thì phương trình vô nghiệm
+Nếu  thì phương trình có nghiệm kép:
+Nếu  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b) Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình   có
+ Nếu   thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu   thì phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
c) Hệ thức Vi-ét
+) Định lí Vi-ét:
Nếu   là nghiệm của phương trình
thì :
+) Ứng dụng:
– Hệ quả 1:
Nếu phương trình   có:  thì phương trình
có nghiệm:
– Hệ quả 2:
Nếu phương trình   có:  thì phương trình
có nghiệm:
+) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số   có   thì   là nghiệm của phương trình:

(  tồn tại khi  )
d) Giải pháp khắc phục khó khăn và sai lầm khi giải toán.
– Giải bài toán cụ thể, thay đổi giả thiết để tăng độ khó cho bài toán.
– Chú ý các cách biến đổi tương đương.
– Chú ý các điều kiện của bài toán, vận dụng các giả thiết đã cho.
– Khi dùng phép biến đổi hệ quả cần thay kết quả vào phương trình để kiểm tra.
2.2.3. Phát triển bài toán từ các bài tập mức độ nhận biết, thông hiểu qua đó giúp học sinh tháo gỡ khó khăn gặp phải khi giải bài toán về phương trình bậc hai một ẩn
Bài toán 1: Bắt đầu từ bài toán giải phương trình bậc hai cơ bản:
(1)
Cách giải phương trình trên như sau:
Ta có
Do  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Ta có thể thay 2 và 7 bằng những biểu thức chứa ẩn sẽ đưa bài toán về những bài toán khó hơn. Ví dụ như khi thay 2 bởi   ta được bài toán 2
Bài toán 2: Cho phương trình:  .(2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình trên.
Việc giải phương trình (1) đối với học sinh lớp 10 là không khó khăn. Nhưng giải phương trình (2), đối với học sinh yếu và trung bình thì đó là một thách thức không nhỏ. Cần cho học sinh thấy rằng nó cũng là một phương trình bậc hai nên việc giải phương trình cũng cần tính   như ở giải phương trình (1). Khi đó học sinh sẽ tính được   và qua đó hình thành nên các bước giải phương trình bậc hai chứa tham số.
Cách giải phương trình (2) như sau:
Ta có
Nhận thấy giá trị của   phụ thuộc vào m nên để xét dấu của   thì cần giải bất phương trình bậc nhất theo m. Dạng toán đưa ra là quen thuộc với học sinh nên sẽ không khó khăn để giải toán.
Sau khi học sinh đã biện luận được nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể thay đổi yêu cầu của bài toán ở mức độ khó hơn. Ví dụ như có thể thay câu hỏi “ Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình bằng các câu hỏi có độ khó tăng dần như:
Yêu cầu 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn điều kiện

Yêu cầu 2:  Tìm m để phương trình có hai nghiệm   thỏa mãn điều
kiện
Yêu cầu 3:  Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn điều
kiện
Yêu cầu 4:  Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn điều
kiện
Hoặc khi thay 2 bởi  , 7 bởi  ta có phương trình bậc hai chứa tham số phức tạp hơn phương trình (2) như sau  (3).
Sauk hi học sinh đã làm được nhóm bài tập ở phương trình (2) thì các em sẽ có đủ tự tin để giải bài toán sau:
Bài toán 3: Cho phương trình:  .(3)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm   thỏa mãn điều kiện

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn điều kiện

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn điều kiện

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiện

Khi thay 2 bởi 1, 7 bởi m và 5 bởi  ta có bài toán với mức độ vận dụng cao như sau:
Bài toán 4: Cho phương trình  (4)
Gọi x x1; 2là các nghiệm của phương trình (4). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của biểu thức  .
Học sinh đã tự làm được các bài toán ở phương trình (3) thì bằng cách vận dụng kiến thức đã học các em có thể định hướng được cách giải bài toán (4). Và có thể tự tin hoàn thành bài toán đó.
2.3. Phát triển các bài toán từ bài tập về bất đẳng thức