SKKN Phát triển năng lực phẩm chất cho học sinh THPT qua dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian

PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Roger Bacon – triết gia người anh đã nói: “Toán học là cánh cửa và là chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác”. Toán học đã chứng tỏ mình như một đỉnh cao trí tuệ của con người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học là nền tảng của nhiều lý thuyết khoa học quan trọng. Ngày nay, với thời đại công nghệ tiên tiến sự phát triển như vũ báo của công nghệ thông tin thì vai trò của toán học càng trở nên quan trọng và cần thiết hơn bao giờ hết.
Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày
26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh
những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành
tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán
học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực
sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then
chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống
thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa
toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’.
Năng lực Toán học của học sinh phổ thông có thể biểu hiện qua: tính linh
hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học; khuynh hướng vươn tới
tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lời giải; nhanh chóng và dễ dàng sửa
lại phương hướng của quá trình tư duy, chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang
tiến trình tư duy đảo. Như vậy trong việc bồi dưỡng các năng lực toán học cho học sinh là rất quan trọng, nó phụ thuộc rất nhiều ở sự đổi mới PPDH của GV .
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh THPT rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó khó, trừu tượng, thiếu tính thực tế và các em không thể tưởng tượng được hình trong không gian. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này. Về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Đặc biệt như ở các trường cơ sở vật chất chưa đầy đủ, các thiết bị dạy học đang nghèo nàn.
Từ lý do trên tôi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực phẩm chất cho học sinh THPT qua dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian ” nhằm kích thích, tạo hứng thú và đạt hiệu quả cho học sinh khi học chủ đề quan hệ song song trong không gian.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu;
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11 năm học 2021 – 2022.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song ” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản.
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu:
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh THPT có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh một số dạng toán trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở, phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, cũng như cung cấp cho giáo viên một số nội dung giảng dạy môn hình học không gian lớp 11 một cách có hiệu quả hơn.
Để trình bày đề tài, Chúng tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp như:
– Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học.
– Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
PHẦN HAI: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
1. Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực….”
Ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn toán để đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của môn toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, … Ta cần phải chú ‎ý đến các yếu tố khác : Vẽ hình như thế tốt chưa? Cần xác định thêm các yếu tố nào trên hình không? Để giải quyết vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán, ….có như thế mới giúp ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp khó khăn. Ngoài ra ta còn phải nắm vững kiến thức trong hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng.
Nhận thấy sự cần thiết và hiệu quả của việc đào sâu, khai thác bài toán trong dạy học trang bị cho học sinh phương pháp khai thác, đào sâu bài toán từ đó phát triển tư duy sáng tạo và hình thành cho học sinh năng lực tự học.
Khai thác bài toán có thể thực hiện theo các hướng sau.
+ Nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm ra lời giải của bài toán, từ đó tìm lời giải hợp lý.
+ Tiến hành các hoạt động đặc biệt hóa, tương tự hóa ,khái quát hóa hoặc kết hợp với một bài toán cơ bản khác để tìm ra kết quả mới, đề xuất các bài toán mới.
+ Biến đổi bài toán và phát biểu chúng dưới nhiều hình thức khác nhau để tạo sự linh hoạt, mềm dẻo của tư duy trong giải toán góp phần hình thành cho học sinh phẩm chất trí tuệ đặc biệt.
2. Thực trạng của đề tài.
Để thực hiện được đề tài của mình, tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong năm học 2020 – 2021 sau khi học sinh lớp 11 A1, 11 A2 trường THPT Đô Lương 4 đã học hết chương II phần hình học lớp 11, tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về quan hệ song song và các bài toán liên quan nhưng chưa được tác động của đề tài nghiên cứu. Chúng tôi tiến hành cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút với 2 bài toán trắc nghiệm và yêu cầu các em trình bày tự luận lời giải chi tiết, đề đánh giá như sau:
Câu 1: Cho hình hộp  , gọi   là trung điểm  ,   là mặt phẳng đi qua   và song song với   và  . Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng   là hình gì?
A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác.        D. Lục giác.
(Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018)
Câu 2: Cho hình hộp  . Trên các cạnh  ,  ,   lần lượt lấy ba điểm   sao cho  ,  ,  . Biết mặt phẳng   cắt cạnh   tại  . Tính tỉ số  .
A.  . B.  . C.  . D.  .
(Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018)
Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau:
Điểm
Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10
Lớp 11A1( 41 HS ) 1,8% 27% 51,2% 16,5% 3,5%
Lớp 11A2( 42 HS ) 3,5% 31% 49,2% 14,5% 1,8%
Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tôi xin trình bày một lời giải đúng
Câu 1: Cho hình hộp  , gọi   là trung điểm  ,   là mặt phẳng đi qua   và song song với   và  . Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng   là hình gì?
A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác.        D. Lục giác.
(Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018)
Lời giải
Chọn A

Trong   kẻ đường thẳng qua   song song với  cắt  tại  ,cắt   tại  ,cắt  tại  .
Trong   kẻ đường thẳng qua   song song với  cắt  tại  .
Trong   nối  cắt   tại   ,cắt   tại   .
Trong  :Nối   cắt  tại  .
Thiết diện là ngũ giác  .
Câu 2: Cho hình hộp  . Trên các cạnh  ,  ,   lần lượt lấy ba điểm   sao cho  ,  ,  . Biết mặt phẳng   cắt cạnh   tại  . Tính tỉ số  .
A.  . B.  . C.  . D.  .
(Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018)
Lời giải
Chọn A

Ta có  .
Tương tự:  .
Suy ra mặt phẳng   cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành  .
Mặt khác  .
Trong mặt phẳng , gọi   là giao điểm của hai đường thẳng   và   thì   là đường trung bình của tam giác   là trung điểm của đoạn thẳng . Trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng  , gọi   là giao điểm của  và   thì   là đường trung bình của tam giác   (vì   và   là trung điểm  )  .
Mà tứ giác   là hình bình hành nên   là trung điểm   hay  .
Lại có  .
Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra:
Câu 1: Một số học sinh chưa hiểu căn kẽ về thiết diện của mặt phẳng cắt hình chóp. Trong quá trình xác định giao tuyến, có một số học sinh vẽ giao điểm ở hai đường thẳng chéo nhau. Thể hiện các em chưa phân biệt được hình trong không gian và hình trong mặt phẳng, chưa có tư duy tưởng tượng và vẽ hình không gian.
Câu 2: Về cơ bản các em đều gặp phải khó khăn vướng mắc tương tự như Câu 1, ngoài ra một số học sinh chưa có tư duy tách mặt phẳng trong hình không gian để sử dụng các định lý, tính chất về quan hệ song song trong hình học phẳng.
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian các em học sinh không biết vẽ hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học không gian 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, bên cạnh đó thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít..
Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh chưa có trí tưởng tượng không gian tốt; Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian; Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách giải; Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng động cơ học tập, trong suy nghĩ hình học khó nên các em cũng không cố gắng để học.
Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một số biện pháp nhằm năng ực tư duy hình học không gian cho học sinh.
3. Biện pháp giải quyết vấn đề.
Từ những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn, trong quá trình dạy học tại lớp 11A1, 11A2 năm học 2021 – 2022, tôi đã tiến hành thực hiện áp dụng đề tài theo trình tự các biện pháp sau:
3.1. Biện pháp 1: Trang bị cho các em kiến thức cơ bản về quan hệ song song trong không gian.
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học.
* Các định nghĩa
Định nghĩa 1. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song.
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xẩy ra đối với a và b:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả  trong hình học phẳng ta có ba khả năng sau:
1. a và b cắt nhau tại điểm  , ta kí hiệu  .
2. a và b song song với nhau, ta kí hiệu  .
3. a và b trùng nhau, ta kí hiệu  .
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng chéo nhau.
+ Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Tính chất:
1. Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường    thẳng    có một và chỉ một đường thẳng song song với  .
2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
Định nghĩa 2. Đường thẳng song song với mặt phẳng Cho đường thẳng   và mặt phẳng  , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng  là:
1.   và   cắt nhau tại điểm  , kí hiêu   hoặc để đơn giản ta kí hiệu  . (h1)
2.   song song với  , kí hiệu   hoặc  . ( h2)
3.   nằm trong  , kí hiệu  . (h3)

4. Cho hai đường thẳng chéo nhau.
Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Định nghĩa 3. Hai mặt phẳng song song
ĐỊNH NGHĨA
Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu  .
Vậy  .
ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT
1. Nếu mặt phẳng   chứa hai đường thẳng cắt nhau  và hai đường   thẳng này cùng song song với mặt phẳng  thì  .

Vậy  .
2. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 1:
Nếu   thì trong   có một đường thẳng song song với   và qua   có duy nhất một mặt phẳng song song với  .
Hệ quả 2:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.
Hệ quả 3:
Cho điểm không nằm trên mặt phẳng  .Mọi đường thẳng đi qua   và song song với  đều nằn trong mặt phẳng qua   song song với  .

Vậy  .

3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau.
Vậy  .
Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn bằng nhau.
4. Định lí Ta-lét( Thales)
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
.
Định lí Ta-lét( Thales) đảo
Cho hai đường thẳng   chéo nhau và các điểm   trên  , các điểm   trên   sao cho  . Lúc đó các đường thẳng   cùng song song với một mặt phăng.

3.2. Biện Pháp 2: Rèn luyện cho học sinh năng lực giải toán phần quan hệ song song thông qua các bài  toán cơ bản:
Bài toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và ().
Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.
Nếu   thì

Hình 1
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng
Dựa vào các định l‎ý sau:
Định lý 2: (SGK trang 57)
Nếu thì

Hệ quả:   Nếu       thì

Định lý 2: (SGK trang 61)  Nếu    thì  . (hình 5)

Hệ quả:  Nếu     thì   .  (hình 6)

Định lý 3: (SGK trang 67)
Nếu      thì    (hình 7)

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả trên)
Ví dụ 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α). Tìm giao tuyến của:
a) mp(SAC) và mp(SBD) b) mp(SAB) và mp(SCD)
c) mp(SEF) và mp(SAD)
Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến.