SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua hệ thống bài tập cực trị về khoảng cách trong hệ tọa độ không gian

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Xu hướng chung của phương pháp dạy học hiện nay là dạy học theo định hướng phát triển phẩm chất năng lực cho học sinh, lấy học sinh làm trung tâm; người thầy phải làm thế nào để phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học, phải giúp người học nhanh chóng tiếp cận các vấn nảy sinh trong học tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Phải coi trọng, đề cao vai trò chủ thể của người học trong quá trình nhận thức.
Hoạt động giải bài tập là hoạt động chủ yếu của toán học, để hoạt động giải bài tập được tốt thì mỗi chuyên đề, chủ đề cần có một hệ thống bài tập có chất lượng phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Đặc biệt phát huy các năng lực tư duy cho những học sinh có năng lực học tập khá giỏi. Vì học sinh trong mỗi lớp học vừa có sự giống nhau, vừa có sự khác nhau về nhận thức, tư duy, năng khiếu, sở trường…. Mà chương trình THPT được triển khai dưới hình thức dạy học theo chuyên đề, chủ đề kết hợp với dạy học tự chọn là giải pháp chính để thực hiện dạy học theo định hướng phát triển năng lực (một định hướng cơ bản của giáo dục hiện nay).
Trong thực tiễn ở các trường phổ thông hiện nay, dạy học phân hoá để phát triển năng lực cho từng học sinh là nhiệm vụ quan trọng. Đối với học sinh khá giỏi cần có một hệ thống các bài tập phát triển trên nền các bài tập cơ bản. Muốn vậy giáo viên cần có kiến thức chắc chắn, cần xây dựng cho mình một hệ thống câu hỏi bài tập phong phú đa dạng.
Khoảng cách là phần cốt lõi của hình học không gian và được nghiên cứu trong hình không gian tổng hợp cũng như trong hình không gian toạ độ. Tính toán các yếu tố trong hình học không khể thiếu khoảng cách. Các bài toán liên quan đến khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia trong các năm gần đây, trong đó có nhiều bài tập ở mức độ vận dụng cao. Tuy nhiên sự khai thác các bài toán về khoảng cách và cách chuyển bài toán từ hình không gian tổng hợp sang hình không gian toạ độ không nhiều.
Các bài toán về khoảng cách chủ yếu đề cập đến khoảng cách giữa hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng. Nhưng ở phần này các vấn đề trình bày sách giáo khoa chủ yếu là phần lý thuyết và các bài tập cơ bản. Phần bài tập vận dụng và các chuyên đề, chủ đề chưa được khai thác đúng mức.
Các bài toán về khoảng cách khi có yếu tố thay đổi chẳng hạn: điểm thay đổi trên một đường (đường thẳng hay đường tròn) hoặc trên một mặt (mặt phẳng hay mặt cầu) để thỏa mãn điều kiện cực trị về khoảng cách; lập phương trình mặt phẳng chứa một điểm hoặc một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cực trị về khoảng cách thường là các bài toán khó.
Để giải được các bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao của phần tọa độ ta thường phải giải trong hình không gian tổng hợp (đây là phần cốt lõi có tính chất hình học) còn sau
1
đó mới ứng dụng kiến thức tọa độ để giải. Do vậy để có được các bài toán trong hệ tọa độ cần xây dựng hệ thống (các dạng) bài toán trong hình không gian tổng hợp.
Với lượng kiến thức lý thyết khá rộng về các vấn đề liên quan đến khoảng cách, cũng như sự gắn kết giữa trong hình không gian tổng hợp và hình không gian toạ độ nên cần thiết có các đề tài nghiên cứu vấn đề này. Qua đó có cách nhìn tổng quan hơn các vấn đề liên quan đến khoảng cách.
Vì các lý do trên và sau nhiều năm giảng dạy, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua hệ thống bài tập cực trị về khoảng cách trong hệ tọa độ không gian’’ để giúp học sinh, giáo viên có thể áp dụng nhằm nâng cao kết quả học tập và giảng dạy.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
Nhằm giúp học sinh học tốt phần khoảng cách trong chương III của hình học lớp 12. Nâng cao năng lực tư duy, bồi dưỡng khả năng tự học cho học sinh. Qua đó học sinh sẽ thấy được mạch kiến thức xuyên suốt các vấn đề liên quan đến khoảng cách và sự gắn kết giữa hai loại hình học, từ đó có cách nhìn sâu sắc, toàn diện hơn.
Nội dung đề tài khai thác, vận dụng kiến thức lý thuyết về tọa độ và tính chất hình học không gian trong SGK để xây dựng hệ thống bài tập phù hợp nhằm củng cố kiến thức, hình thành kỹ năng vẽ hình, tính toán, cách chuyển đổi phát triển bài toán, xây dựng bài toán tương tự, …. Qua đó phát triển năng lực tư duy và lập luận, năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học, năng lực sử dụng ngôn ngữ…
Đề tài xây dựng nhiều bài toán gốc, từ đó sẽ có một lớp bài toán minh họa cho bài toán gốc đó. Với lượng bài tập nhiều nên có thể lựa chọn để áp dụng cho phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh khá giỏi phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của mình từ việc phát biểu bài toán, dự đoán tính khả thi của bài toán, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá bài toán. Với mục tiêu học sinh vận dụng tốt các kiến thức, kỹ năng để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả, phát huy tối đa năng lực toán học.
3. ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI.
Đề tài xây dựng được hệ thống bài tập khá đầy đủ, phong phú các vấn đề liên quan đến khoảng cách. Việc đặt vấn đề, xây dựng và giải quyết các bài toán xuất hiện một cách logic, tự nhiên. Bắt đầu từ việc cho một điểm thay đổi, hai điểm thay thuộc trên một đường hoặc một mặt đến thuộc hai đường hoặc hai mặt khác nhau, các bài tập phần sau xây dựng tương tự phần trước. Qua đó phát triển khả năng, năng lực của người học.
Đề tài xuất hiện nhiều bài tập mới, nhiều bài tập cho kết quả đẹp có tính tổng quát có nhiều ứng dụng và có thể xem như một tính chất liên quan đến khoảng cách.
Đề tài có được hệ thống bài tập tương ứng giữa hình không gian tổng hợp và hình không gian toạ độ. Trong từng dạng bài tập của hình không gian tổng hợp có thể khai thác một lớp bài tập trong hệ tọa độ để sử dụng trong dạy học cũng như ra đề thi.
2

PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. A. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận
Năng lực được coi là sự huy động kiến thức, kỹ năng, niềm tin… để học sinh thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Năng lực chỉ hình thành khi học sinh chuyển hoá kiến thức, kỹ năng thành hành động. Từ đó đặt ra yêu cầu cốt lõi là tập trung vào những gì học sinh cần có để dạy và sau đó họ có thể làm được việc cụ thể, hữu ích.
Môn toán có nhiều cơ hội để phát triển các năng lực chung như: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo… Đồng thời hình thành và phát triển các năng lực riêng, đặc thù như: Năng lực tính toán, năng lực tư duy và lập luận, năng lực mô hình hoá, năng lực ngôn ngữ, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán…. Có thể nói năng lực tư duy là đặc trưng và cốt lõi của môn toán.
Việc giải toán là hoạt động chủ đạo của môn toán nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện phẩm chất, năng lực cho học sinh về nhiều mặt. Muốn vậy giáo viên cần quan tâm đến việc lựa chọn bài tập sao cho có hiệu quả nhất, thích hợp với đối tượng học sinh của mình. Do đó việc xây dựng hệ thống bài tập ứng với từng chuyên đề, chủ đề là cần thiết.
Để xây dựng một hệ thống bài tập tốt cần đạt các yêu cầu:
– Đảm bảo chuẩn kiến thức, kỹ năng: Khi dạy học, xây dựng bài tập, ra đề kiểm tra luôn phải bám vào chuẩn kiến thức, kỹ năng mà học sinh cần đạt được. Bài tập là cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn, là phương tiện để học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng.
– Đảm bảo tính chính xác, khoa học: Bài tập phải có kết quả đúng, sắp xếp khoa học, có cái nhìn tổng quan về vấn đề trình bày, có tính mới.
– Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh: Có tính phân hoá, vừa sức, phù hợp với khả năng giải toán của học sinh. Bảo đảm cân đối thời gian giữa lý thuyết và bài tập.
– Đảm bảo tính sư phạm: Ngôn ngữ chuẩn mực, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu. Số lượng bài tập đủ để hình thành các kỹ năng cần thiết. Có một số bài tập mới, hay, tổng quát,… để phát triển các năng lực toán học, rèn luyện trí thông minh.
– Đảm bảo tính hệ thống, kế thừa: Phân các dạng bài tập phù hợp từng đơn vị kiến thức, đảm bảo tính logic, các bài tập được xây dựng trên nền tảng kiến thức cơ bản, phát triển lên từ bài toán đã có, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá bài toán….
– Hệ thống bài tập phải giúp học sinh phát triển năng lực toán học như: Năng lực phân tích và giải bài toán; năng lực tính toán và sử dụng ký hiệu; năng lực tư duy lập luận và chứng minh; năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá…
Ngoài ra hệ thống bài tập còn có tính mở, hướng phát triển sang vấn đề tương tự. Hướng tới sự tự học, tự nghiên cứu của học sinh…
3

2. Cơ sở thực tiễn
Phần khoảng cách là phần cơ bản của hình không gian, khoảng cách nêu lên mối liên
hệ với các đối tượng hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
Trong hình không gian tổng hợp thì phần khoảng cách được khai thác khá nhiều, các bài tập thường liên quan đến tính khoảng cánh từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong các hình không gian cụ thể. Phần cực trị về khoảng cách ít được chú ý.
Trong hình không gian toạ độ các bài cơ bản tính khoảng cách liên quan đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu đã xuất hiện nhiều trong đề thi và các tài liệu tham khảo. Những bài toán về toạ độ cần phát triển năng lực tư duy là những bài có sử dụng được tính chất hình học không gian, tức là phải được bài toán đó trong hình không gian rồi mới chuyển sang tọa độ (tọa độ là công cụ để tính toán). Do đó đây là “miếng đất màu mỡ để khai thác” các dạng bài tập, đặc biệt là bài vận dụng cao.
Thực tế, các đề thi tuyển sinh trước đây và đề thi THPT QG hiện nay thường xuất hiện các bài tập liên quan đến khoảng cách (trong hình không gian tổng hợp hay hình toạ độ). Trong đó có những bài toán rất khó làm cho nhiều học sinh thiếu tự tin khi giải các dạng toán này.
Phạm vi áp dụng của đề tài: Phần bài khoảng cách ở lớp 11 và chương III hình học 12.
B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Hình học không gian là môn học có tính trừu tượng cao, tính logic chặt chẽ, học sinh phải hình dung không gian, vẽ hình, tính toán… nên đa số học sinh sợ môn này kể cả học sinh có học lực khá.
Trong số các bài toán liên quan đến khoảng cách, nếu các bài toán về toạ độ cơ bản thì các học sinh trung bình có thể làm được, còn bài toán áp dụng tính chất hình học không gian tổng hơp để giải bài toán trong toạ độ thì thường là bài khó nên học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất của bài toán; một phần vì học sinh ngại bài toán khó, không biết bắt đầu từ đâu; một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.
Như vậy, căn cứ vào mức độ học tập của học sinh, giáo viên có thể đưa ra một hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng cơ bản và khắc sâu kiến thức. Từ những kiến thức đó giáo viên có thể nâng dần mức độ khó của bài toán, đòi hỏi học sinh phải sử dụng một kiến thức tổng hợp, đa dạng đồng thời trang bị cho học sinh các kỹ năng trong giải toán, đưa ra được một số vấn đề gợi mở nhằm phát huy tính tích cực của học sinh để học sinh tự tìm tòi, khám phá, phát hiện ra vấn đề mới,… sẽ giúp học sinh phát huy hết khả năng trong học tập. Để làm được điều đó thì cần có hệ thống bài tập phù hợp.
4

C. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Đề tài giúp học sinh phát triển năng lực tư duy qua hệ thống bài tập cực trị về khoảng cách và cách giải các bài toán đó trong hình không gian tổng hợp sau đó minh họa bằng các bài toán trong hình toạ độ không gian.
1) Những kiến thức cơ bản phần khoảng cách áp dụng trong đề tài: