SKKN Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông 2018 và bộ môn Toán nói riêng là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa… Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức, kỹ năng cơ bản; chú trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Điều đó đòi hỏi học sinh không chỉ cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mới mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học biết kết nối những kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới. Vì lẽ đó việc đổi mới phương pháp dạy học trong dạy học môn Toán càng trở nên quan trọng bức thiết.
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu: “Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát; Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018).
Trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, Hình học không gian (HHKG) đóng một vai trò quan trọng. Nó thường xuất hiện là câu khó trong đề thi học kỳ lớp 11, thi học sinh giỏi, cũng như những câu vận dụng, vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT. Không những thế mà đây là chủ đề đa dạng về dạng toán hay, có nhiều cách giải. Đặc biệt nhiều bài toán HHKG giải bằng cách áp dụng kiến thức vectơ thể hiện rõ sự ưu điểm và độc đáo.
Khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian để giải toán là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. “Năng lực tư duy và lập luận toán học” là một trong ba thành phần cốt lõi biểu hiện năng lực toán học của một học sinh. Đây cũng là năng lực đòi hỏi quá trình giáo dục cần phải hình thành cho các em nếu muốn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới nói chung và đổi mới trong môn Toán nói riêng.
1
Mặc dù tầm quan trọng của kiến thức về vectơ trong không gian lớn như thế, nhưng nó không được trình bày kỹ trong SGK. Hơn nữa ở SGK, sách bài tập và cả các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Chính vì vậy HS không được học một cách bài bản, không xâu chuỗi được kiến thức trong khi nội dung kiến thức chuyên đề này xuyên suốt trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông.
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian”.
II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn mới đó là khai thác kiến thức vectơ để giải các bài toán HHKG theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS.
Thứ hai, đề tài đã trình bày cơ sở lý luận về tư duy, năng lực tư duy và lập luận toán học; hệ thống hoá các kiến thức về vectơ , trình bày được phương pháp chung để giải các bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ .
Thứ ba, đề tài đã xây dựng được lớp các bài toán HHKG và định hướng xử lý lớp các bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ . Đặc biệt khai thác kiến thức về vectơ để giải các bài toán về cực trị, bất đẳng thức trong HHKG và tập luyện cho HS thói quen khai thác đề bài để sáng tạo bài toán mới giúp các em tự tin hơn trong học tập.
Thứ tư, luyện tập cho HS thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để HS phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà HS phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán.
Thứ năm, đề tài đã góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 – 2023 và học sinh giỏi cấp tỉnh hằng năm.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học vấn đề vectơ trong không gian ở trường THPT.
Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến vấn đề vectơ trong không gian qua SGK và các tài liệu tham khảo.
Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán HHKG giải bằng phương pháp sử dụng kiến thức vectơ trong không gian phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng HSG.
2

Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, và đồng nghiệp qua đó thấy được sự hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung vectơ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói riêng cũng như học môn toán nói chung.
VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
– Học sinh bậc trung học phổ thông.
– Giáo viên dạy toán bậc trung học phổ thông.
– Tài liệu về phương pháp dạy học, hình học không gian.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
– Phương pháp phân tích – tổng hợp
– Phương pháp điều tra, phân tích.
– Phương pháp thống kê, xử lí số liệu – Phương pháp phỏng vấn.
– Phương pháp thực nghiệm.
VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận
3

PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Tư duy
1.1. Khái niệm tư duy
Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận,… (dẫn theo [3]).
Trong Đề tài này, chúng tôi thống nhất với quan điểm về tư duy của tác giả Phạm Minh Hạc trong [2]: “Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chủ thể nhận thức chưa biết”.
1.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề; Tư duy có tính khái quát;
Tư duy có tính gián tiếp;
Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… (dẫn theo [4]).
1.3. Tư duy toán học
Trong Đề tài này, chúng tôi sử dụng định nghĩa tư duy toán học: Tư duy toán học được hiểu là hình thức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật, kinh tế,… Tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi tính chất của khoa học toán học vì có sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
1.4. Năng lực tư duy toán học
Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn.
2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
2.1. Khái niệm năng lực lập luận toán học
Môn Toán vừa có tính trừu tượng cao và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic và tính thực nghiệm; môn Toán có vai trò quan trọng trong phát triển năng lực trí tuệ cho HS:
4

Một là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
Hai là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hoá,…
Ba là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng thông qua việc làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen…
Từ những đặc điểm trên, có thể thấy, trong dạy học môn Toán, việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS là một việc rất quan trọng. Trong đó, năng lực tư duy toán học là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải của bài toán, khái quát, mở rộng, phát triển bài toán, còn lập luận được xem là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy và là một thành phần của năng lực toán học. Khi dạy học hình học không gian, việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS để giải bài toán càng rất cần thiết. Bởi vì một bài toán, một bài tập cụ thể chỉ có thể giải được khi HS có hướng tư duy đúng và lập luận logic
2.2. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học
Theo CTGDPT 2018, xác định: Ở cấp THPT, biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học được biểu hiện qua việc HS:
+ Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát.
+ Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
+ Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Để có cái nhìn đầy đủ và tìm hiểu cụ thể, chính xác thực trạng việc phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS THPT thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian, chúng tôi tiến hành điều tra, khảo sát bằng phiếu câu hỏi (ở phần Phụ lục) với đối tượng là 85 học sinh và 20 giáo viên của các trường THPT tại địa bàn huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận. Sau khi điều tra tôi thu được kết quả cụ thể sau:
1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên
– Hầu hết giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc nghiên cứu sâu và khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS.
– Trong tiết bài tập, giáo viên cơ bản chỉ tập trung vào việc chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu
5

lý thuyết đã học. Không ít giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác và chưa giúp học sinh xâu chuỗi các kiến thức với nhau.
– GV cũng chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không có thói quen để HS tự do tranh luận. Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Do đó không phát huy được các yếu tố để rèn luyện và phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS.
2. Thực trạng học tập của học sinh
Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên địa bàn tỉnh huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận chúng tôi thu được các thông tin:
– Rất nhiều HS ngại học hình học không gian, phần lớn học sinh yếu về kiến thức vecto; hạn chế về năng lực tư duy và lập luận toán học: nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế.
– Hầu hết HS thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, rất ít HS nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan.
– Đa số HS có kiến thức rất yếu và không hứng thú học chủ đề vectơ vì sự trừu tượng và tâm lý nghĩ rằng chủ đề này rất khó nên không thể chinh phục được.
– Đứng trước một bài toán HHKG học sinh thường không ưu tiên lựa chọn công cụ vectơ để khai thác, HS lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào.
Vậy làm thế nào để khắc phục được thực trạng đó? Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp cụ thể đã được áp dụng có hiệu quả tại đơn vị – trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên.
III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Trong nội dung này chúng tôi sẽ củng cố các kiến thức liên quan đến vectơ , định hướng giúp HS vận dụng các kiến thức về vectơ để giải một số bài toán
6

HHKG và tìm cách khai thác mở rộng thành các bài toán mức độ vận dụng, vận dụng cao; giúp HS nắm được quy trình tổng thể, phương pháp giải một số bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ. Thông qua đó giúp học sinh có thêm một phương pháp để giải các bài toán HHKG từ mức độ thông hiểu đến mức độ vận dụng, vận dụng cao có trong chương trình Toán THPT và trong cấu trúc đề thi TNTHPT cũng như trong đề thi HSG. Qua việc phân tích, khai thác giúp cho học sinh có thói quen, kỹ năng luôn tìm nguồn gốc của bài toán cũng như nhìn bài toán dưới dạng động, luôn có ý thức tìm tòi, khai thác bài toán nhiều khía cạnh. Từ đó hình thành, phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS.
1. Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận các dạng toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ từ đó hoàn thiện phương pháp giải mỗi dạng