SKKN Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài.
Môn Toán ở trường phổ thông mang ý nghĩa là môn học công cụ, song nó cũng là môn học rèn luyện được nhiều năng lực cho học sinh đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận. Người ta thường nói môn Toán là môn “thể thao trí tuệ”. Dạy Toán không phải là đơn thuần cung cấp một vài công cụ tính toán cho các môn học khác mà người giáo viên phải biết truyền cảm hứng và ngọn lửa đam mê cho các thế hệ học sinh, tạo sự hào hứng cho các bạn trẻ yêu toán. Để làm được như vậy thì trong quá trình dạy học toán chúng ta cần làm tôn lên vẻ đẹp của toán học và làm nó hấp dẫn hơn. Vẻ đẹp của Toán học sẽ được tôn lên nếu như giáo viên dạy toán biết khai thác một bài toán dưới nhiều khía cạnh cho học sinh và gắn liền với thực tiễn. Một trong những chủ đề Toán học có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống là Tổ hợp – Xác suất. Các bài toán trong chủ đề phong phú và đa dạng, có nhiều phương pháp giải khác nhau. Dù nội dung của chủ đề Tổ hợp – Xác suất khó và dễ mắc sai lầm thì thời gian để dạy phần này lại khá ít, đồng thời việc khai thác các tiềm năng của chủ đề để phát triển các năng lực cho học sinh còn khá eo hẹp. Các bài tập về Tổ hợp – Xác suất trong sách giáo khoa chỉ đơn thuần là các bài toán rất cơ bản, chủ yếu vận dụng trực tiếp các công thức ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Tuy nhiên, nếu biết khai thác một cách khéo léo có thể biến đổi, chuyển hóa các bài toán đó sang mức vận dụng, vận dụng cao và thậm chí có thể đưa vào đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh. Qua thực tế giảng dạy và qua tìm hiểu các đề thi tốt nghiệp THPT, đề minh họa đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử tốt nghiệp THPT của các trường trên cả nước, đề thi học sinh giỏi các tỉnh tôi thấy có rất nhiều bài toán hay về Tổ hợp – Xác suất mà gốc ban đầu có thể khai thác từ bài toán cơ bản. Để học sinh có thể học tốt hơn phần Tổ hợp – Xác suất, làm chủ được kiến thức của chủ đề này thì các em cần được học tập, rèn luyện các kiến thức và kỹ năng trong chủ đề theo định hướng phát triển năng lực, góp phần hình thành và phát triển cáăng lực toán học nói chung và năng lực tư duy và lập luận toán học nói riêng. Đó chính là lý do mà tôi chọn viết đề tài: “Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất”.
Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất cho học sinh theo định hướng hình thành và phát triển một số năng lực tư duy và lập luận. Một số biện pháp đề xuất:
– Hướng dẫn và tập luyện cho học sinh khả năng nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm được nhiều phương án giải quyết khác nhau.
– Tập luyện cho học sinh thói quen không suy nghĩ rập khuôn, máy móc, không phụ thuộc vào các dạng bài có sẵn để hình thành tư duy logic, xử lí linh hoạt trước những tình huống mới.
– Khuyến khích và tạo điều kiện để học sinh tự xây dựng bài toán mới dựa trên các bài toán Tổ hợp – Xác suất cơ bản nhằm phát triển tư duy sáng tạo.
– Đưa ra một số bài toán mang tính thực tiễn về chủ đề Tổ hợp – Xác suất nhằm tạo cơ hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
– Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực toán học. Kỹ năng thiết kế các hoạt động học tập theo định hướng phát triển năng lực.
– Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về Tổ hợp – Xác suất.
– Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học
– Nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ thống được các kỹ năng giải toán Tổ hợp – Xác suất, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra phương pháp giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển năng lực thì sẽ giúp cho học sinh học tốt chủ đề Tổ hợp – Xác suất, góp phần phát triển năng lực cho học sinh nói chung, năng lực tư duy và lập luận toán học nói riêng, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông.
5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực.
Học sinh lớp 11.
Giáo viên giảng dạy toán THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận
Điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm.
7. Đóng góp của đề tài
– Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong giải toán Tổ hợp – Xác suất.
– Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
– Tính mới của đề tài là đưa ra được hệ thống các biện pháp nhằm hình thành và phát triển một số năng lực toán học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận của học sinh thông qua chủ đề Tổ hợp – Xác suất. Trong mỗi biện pháp, tác giả đã trình bày các ví dụ minh họa, phân tích làm rõ những lưu ý, hiệu quả trong quá trình sử dụng các biện pháp đã đề xuất. Các biện pháp này cần được thực hiện đồng bộ trong quá trình dạy học để bổ sung, hỗ trợ nhau trong việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC.
I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT
Chương trình môn Toán giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: – Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.
– Có những kiến thức, kỹ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ,…; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế.
– Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Toán. – Có hiểu biết tương đối tổng quát về những ngành nghề liên quan đến toán học làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời.
Môn Toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:
a, Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt:
sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mô hình toán học để mô tả các tình huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.
b, Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những phẩm chất đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỹ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt; độc lập, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học toán.
c, Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học phổ thông.
II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC
Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển các đức tính kiên trì, kỷ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Toán; đồng thời hình thành và phát triển được các năng lực chung, đó là tự chủ, tự học; năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh cần hình thành và phát triển các năng lực Toán học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận toán học.
Năng lực là tập hợp toàn bộ các kỹ năng, kiến thức, khả năng, hành vi của một người có thể đáp ứng đối với một công việc nhất định nào đó, đây cũng là một trong những yếu tố quan trọng nhất để cá nhân có thể hoàn thành một việc nào đó hiệu quả hơn so với người khác.
Các thành tố cốt lõi của năng lực toán học bao gồm: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học.
Theo Từ điển Tiếng Việt, “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng” (Hoàng Phê, 1998). Phó giáo sư Nguyễn Thanh Hưng (Đại học Đà Nẵng) cho rằng: “tư duy là giai đoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật bằng các hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lí,… Đối tượng của tư duy là những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu. Các thao tác tư duy chủ yếu gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, …”
Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, một trong những biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018). Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dich.
– Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận.
– Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học.
Từ các bài toán Tổ hợp – Xác suất quen thuộc, học sinh có thể tự tìm lời giải cho các bài toán tương tự, tìm ra được sự khác nhau giữa các bài toán và cao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới.
Lập luận là hoạt động sử dụng ngôn từ bằng công cụ ngôn ngữ, người nói hoặc viết đưa ra những lí lẽ, dẫn chứng để người nghe hoặc đọc đến một kết luận khẳng định hoặc phủ định (một vấn đề nào đó) mà người nói hoặc viết muốn đạt tới.
Lập luận là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy toán học và là một thành phần của năng lực toán học, tập trung vào khả năng của học sinh thực hiện hoạt động suy luận và chứng minh (hoặc bác bỏ). Từ đó lựa chọn đúng đắn đối tượng, cách thức và kết quả quy luật toán học khi học toán. Cấu trúc của năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh trong học Toán bao gồm 5 thành tố:
– Kỹ năng lập luận để xác định cấu trúc bài toán và phân chia trường hợp;
– Kỹ năng lập luận để nhận diện bài toán và kiến thức có liên quan;
– Kỹ năng lập luận để tìm đoán và lựa chọn đường lối giải;
– Kỹ năng lập luận để thực hiện quá trình giải;
– Kỹ năng lập luận để đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán.
III.  MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT
Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học sinh. Chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho 200 học sinh 11 của nhiều trường THPT trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến của bản thân sau khi các em đã học xong chương 2, Tổ hợp – Xác suất, Toán 11. Nội dung khảo sát như sau: Phiếu khảo sát
Họ và tên học sinh……………………………………………………………………………….. Lớp 11 ………………Trường…………………………………………………………………….
Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu trả lời phù hợp với em
Nội dung Có Không/ chưa
(1) Em có yêu thích học môn Toán không?
(2) Khi giải toán Tổ hợp – Xác suất, em có thường xuyên bị hiểu nhầm bài, giải sai bài không ?
(3) Em có gặp khó khăn khi học chủ đề Tổ hợp – Xác suất không?
(4) Em có biết học Tổ hợp – Xác suất để làm gì không?
(5) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Tổ hợp – Xác suất vào trong cuộc sống chưa?
(6) Em có thể dùng kiến thức Tổ hợp – Xác suất để giải quyết một số vấn đề trong thực tiễn chưa ?
Qua thăm dò ý kiến học sinh, giáo viên ở một số trường THPT trên địa bàn, chúng tôi thu được một số kết quả chung như sau:
– 76% học sinh được hỏi gặp khó khăn khi học chủ đề Tổ hợp – Xác suất, nhiều học sinh thường hiểu nhầm đề bài, giải sai bài toán Tổ hợp – Xác suất.
– 81%  học sinh được hỏi chưa biết học Tổ hợp – Xác suất để làm gì, chưa biết được ý nghĩa của Tổ hợp – Xác suất.
– Nhiều giáo viên đã chuyển dần từ việc dạy học truyền thống sang dạy học hình thành và phát triển năng lực, nhưng có đến 56% giáo viên gặp khó khăn vì thiếu tài liệu, chưa biết cách thiết kế bài giảng để dạy học theo định hướng phát triển năng lực. Một số giáo viên chậm thay đổi, đang dạy học theo phương pháp cũ.
– Nội dung Tổ hợp – Xác suất trong chương trình trung học phổ thông bao gồm các mạch kiến thức: Quy tắc đếm; Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp; Nhị thức Niu – tơn; Phép thử và biến cố; Xác suất của biến cố với thời lượng 14 tiết. Thời gian giành cho nội dung này chưa nhiều.
– Trên cơ sở tăng cường ứng dụng thực tiễn, giảm nhẹ lý thuyết, các nhà khoa học đã cụ thể hóa tư tưởng của định hướng để thiết kế sách giáo khoa nói chung, sách giáo khoa bộ môn Toán nói riêng. Qua tìm hiểu các cán bộ quản lý giáo dục và giáo viên cho thấy thực trạng dạy học Toán vẫn còn những tồn tại sau:
+ Ứng dụng, thực hành chưa thực sự chú trọng. Nhiều giáo viên còn quan niệm rằng: những tri thức đó chỉ nhằm mục đích ôn tập nội dung phần lý thuyết đã học sau từng bài, từng chương. Do đó, dạy học mảng tri thức này chưa đúng hướng.
+ Quan điểm hoạt động hóa người học của các nhà khoa học giáo dục và các nhà sư phạm thể hiện trong sách giáo khoa chưa được các giáo viên đứng lớp thực hiện một cách nghiêm túc. Nhiều giáo viên thực hiện chỉ dẫn của sách giáo khoa về tổ chức các hoạt động cho giáo viên một cách miễn cưỡng, giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh những gì có trong sách mà không cho học có cơ hội quan sát và tự thao tác các hoạt động, nhất là các hoạt động phản ánh quy trình vận dụng kiến thức Toán học vào đời sống thực tiễn.
+ Mạch toán ứng dụng trong sách giáo khoa được thiết kế một cách có hệ thống nhằm trang bị cho người học các tri thức như xác suất, thống kê, đạo hàm… có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, giáo viên chưa thực sự chú trọng thích đáng với vai trò của nó, thâm chí có nơi, có lúc còn bị cắt giảm một cách tùy tiện vì lí do là: “không thuộc vào phần thi cử. Tư tưởng của sách giáo khoa toán có chiều hướng tăng cường vận dụng vào thực tiễn, tuy nhiên các bài toán có nội dung thực tiễn chưa nhiều, dẫn đến học sinh ít có cơ hội được bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn. Như vậy, chủ trương tránh tình trạng “quá tải” trong nội dung lý thuyết của chương trình nhằm cho học sinh có điều kiện rèn luyện một số năng lực quan trọng khác nhưng lại vấp phải tình trạng “quá tải” về năng lực giáo viên nhằm đảm nhận nhiệm vụ mới. Ngoài ra, một số giáo viên còn vấp phải một rào cản tâm lý khác, đó là thói quen với những công việc vốn đã “thuộc lòng” nên rất ngại sự thay đổi. Như vậy để phù hợp với cấu trúc mới, giáo viên cần thay đổi cách tổ chức và phương pháp dạy học.
B. GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I.  BIỆN PHÁP 1. HƯỚNG DẪN VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH KHẢ NĂNG NHÌN BÀI TOÁN DƯỚI NHIỀU GÓC ĐỘ KHÁC NHAU ĐỂ TÌM ĐƯỢC NHIỀU PHƯƠNG ÁN GIẢI QUYẾT KHÁC NHAU.
Chủ đề Tổ hợp – Xác suất có nhiều bài tập đa dạng và phong phú, có thể nhìn nhận ở các góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn nhận có thể tạo ra những cách giải khác nhau. Trong quá trình dạy học, việc tập luyện cho học sinh nhìn nhận bài toán theo nhiều hình thức khác nhau sẽ rèn luyện được tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo của tư duy. Để tìm được nhiều cách giải cho một bài toán, trước hết học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản và các phương pháp giải toán. Đồng thời, bằng tư duy lập luận, học sinh sẽ trình bày được các cách để giải bài toán.
Cách thức thực hiện: Giáo viên đưa ra các bài toán có thể giải bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau. Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán đó, hướng dẫn học sinh các cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các lời giải khác nhau cho bài toán.
Sau khi đưa ra các lời giải thì so sánh để nhận xét về ưu điểm, nhược điểm của từng cách giải, từ đó đưa ra lời giải tối ưu nhất.
Ví dụ 1.1. (Câu 2.27 trang 64 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao)
Cho hai đường thẳng a, b song song. Xét tập H có 30 điểm khác nhau, trong đó trên đường thẳng a có 10 điểm và trên đường thẳng b có 20 điểm của H. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập H?
Phân tích: Mỗi tam giác được tạo nên từ ba điểm không thẳng hàng. Trong giả thiết bài toán có tập hợp các điểm thẳng hàng và các điểm không thẳng hàng. Vậy thì có thể nhìn nhận theo hai hướng, đó là chọn trực tiếp ba điểm thỏa mãn điều kiện không  thẳng hàng hoặc chọn ba điểm bất kì rồi loại trừ các trường hợp ba điểm thẳng hàng.
Cách 1. (Giải trực tiếp)
Một tam giác được tạo thành là một cách chọn 3 điểm không thẳng hàng trong các điểm thuộc 𝑎 và 𝑏.
Chọn 3 điểm không thẳng hàng có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng 𝑎 và 1 điểm thuộc đường thẳng   cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng 𝑎 và 2 điểm thuộc đường thẳng   cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng có: 900 + 1900 = 2800  tam giác được tạo thành.
Cách 2.  (Gián tiếp)
– Số cách chọn 3 điểm trong số 30 điểm đã cho   là: = 4060
– Vì 3 điểm thẳng hàng không tạo thành tam giác nên số cách chọn 3 điểm thẳng hàng trên  +  = 1260
– Số tam giác tạo thành từ 30 điểm thẳng hàng đó là: 4060 − 1260 = 2800 tam giác.
Trong ví dụ trên, bài toán khá đơn giản nên việc lựa chọn phương pháp trực tiếp hay gián tiếp đều thuận lợi. Tuy nhiên, một số bài toán, việc tính trực tiếp lại khá nhiều trường hợp dài dòng trong khi tính gián tiếp lại đơn giản hơn.
Ví dụ 1.2. Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm bị lỗi còn lại là sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 sản phẩm tốt.
Phân tích: Đối với bài toán tính xác suất của các biến cố, luôn nghĩ đến 2 khả năng giải quyết bài toán. Đó là tính trực tiếp các kết quả thuận lợi cho biến cố và tính biến cố đối. Nếu tính trực tiếp có nhiều khả năng xảy ra và có nguy cơ sót trường hợp thì nên nghĩ đến việc tính biến cố đối. Tùy theo giả thiết đã cho mà có sự lựa chọn cách giải phù hợp.
Lời giải:
Số phần tử của không gian mẫu là: 𝑛(Ω) =   = 142506.
Trong 30 sản phẩm có 6 sản phẩm bị lỗi nên có 30 − 6 = 24 sản phẩm tốt.
Cách 1. (Tính trực tiếp)
Gọi 𝐶 là biến cố “trong 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm tốt”.  – Các trường hợp thuận lợi cho biến cố 𝐶 là:
+ 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm lỗi: Có   cách lấy.
+ 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm lỗi: Có C_24^3.C_26^2 = 30360 cách lấy.
+ 4 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm lỗi: Có   cách lấy.
+ 5 sản phẩm tốt: Có C_24^5 = 42504 cách lấy.
Do đó: 𝑛(𝐶) = 5520 + 30360 + 63756 + 42504 = 142140.
Xác suất của biến cố 𝐶 là:

Cách 2. (Tính gián tiếp)
Gọi 𝐶 là biến cố “trong 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm tốt” thì 𝐶̅ là biến cố “trong 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 1 sản phẩm tốt”. Các trường hợp thuận lợi cho biến cố 𝐶̅ là không có sản phẩm tốt hoặc có 1 sản phẩm tốt.
Ta có:  .
Xác suất của biến cố 𝐶̅ là:

Suy ra, xác suất của biến cố 𝐶 là:

Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng đối với bài toán xác suất, việc tính biến cố đối là vấn đề cần được quan tâm trong quá trình giải toán. Nhiều bài toán, tính trực tiếp rất dài dòng và dễ thiếu trường hợp, nhưng nếu xét biến cố đối thì vấn đề lại đơn giản hơn nhiều.
Ví dụ 1.3.  Một hộp đựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có đủ 3 màu.
Phân tích: Nếu học sinh trung bình và chưa được rèn luyện nhiều, thì đứng trước bài toán này sẽ lập tức xét các trường hợp xảy ra để có được các cách lấy 6 viên bi có đủ 3 màu. Sau khi học sinh giải xong, giáo viên đặt ra câu hỏi có hướng giải quyết nào nữa không? Nếu số bi lấy ra không phải là 6 mà là 8 bi hoặc nhiều hơn thì việc xét các trường hợp xảy ra để có đủ 3 màu là bao nhiêu? Từ đó có hướng lựa chọn cách giải phù hợp.
Lời giải:
Cách 1: (Trực tiếp)
– Ta thấy: 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2  nên các trường hợp lấy ra 6 viên bi có đủ 3 màu là:
Trường hợp 1: Một loại lấy ra 4 bi, hai loại còn lại mỗi loại 1 bi.
– Số cách lấy là: C_7^1.C_5^1 〖.C〗_4^4+ C_7^1.C_5^4 〖.C〗_4^1 〖+ C〗_7^4.C_5^1 〖.C〗_4^1=875 cách
Trường hợp 2: Loại thứ nhất lấy ra 1 bi, loại thứ hai lấy 2 bi và loại thức ba lấy 3 bi.
– Số cách lấy là:
C_7^1.C_5^2 〖.C〗_4^3+ C_7^1.C_5^3 〖.C〗_4^2 〖+ C〗_7^2.C_5^1 〖.C〗_4^3 〖+ C〗_7^2.C_5^3 〖.C〗_4^1+ C_7^3.C_5^1 〖.C〗_4^2 〖+ C〗_7^3.C_5^2 〖.C〗_4^1
= 4410
Trường hợp 3: Mỗi loại lấy 2 viên.
– Số cách lấy là:  .
– Tổng số cách lấy 6 viên bi có đủ 3 màu là: 875 + 4410 + 1260 = 6545.
Cách 2: (Gián tiếp)
– Số cách lấy 6 viên bi trong 16 viên bi là: C_16^6 = 8008.
– Ta tính số cách lấy bi không đủ 3 màu:
Trường hợp 1: Lấy 6 bi gồm xanh và đỏ. Số cách lấy là: C_12^6 = 924.
Trường hợp 2: Lấy 6 bi gồm xanh và vàng. Số cách lấy là: C_11^6 = 462.
Trường hợp 3: Lấy 6 bi gồm vàng và đỏ. Số cách lấy là: C_9^6 = 84.
– Vì số bi xanh là 7 > 6 nên cách lấy 6 bi xanh được tính hai lần ở trường hợp 1 và 2.
– Vậy số cách lấy 6 viên bi có đủ 3 màu là:

Đối với ví dụ này, việc tính trực tiếp khá nhiều trường hợp xảy ra nhưng lại rõ ràng, dễ hiểu hơn. Còn với cách tính gián tiếp nhìn công thức thì gọn hơn nhưng đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng lập luận để phân chia trường hợp. Nếu bài toán trên, thay vì lấy 6 viên bi, ta lấy 8 viên bi thì cách thứ 2 sẽ có ưu thế vượt trội. Không có cách nào là phù hợp cho mọi bài toán, vì thế trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần định hướng cho học sinh suy nghĩ, phân tích bài toán một cách chặt chẽ, nhìn ra dấu hiệu bản chất trong từng bài để tìm ra cách giải phù hợp.
Ví dụ 1.4. (Đề học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nghệ An năm 2015 – 2016)
Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tâp hợp 𝐴 =
{1; 2; 3; … ; 20}. Tính xác suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
Phân tích: Khi gặp bài toán này thì hầu hết học sinh đều nghĩ đến việc tìm biến cố đối và rõ ràng trong trường hợp này chỉ có 2 khả năng xảy ra là có 2 số tự nhiên liêp tiếp và 3 số tự nhiên liên tiếp. Tuy nhiên, để đếm số các khả năng xảy ra nếu không cẩn thận cũng dễ dẫn đến sai lầm. Vậy vấn đề đặt ra là ta có thể tính trực tiếp được không. Nếu chọn ra 3 số tự nhiên mà không có hai số tự nhiên liên tiếp thì các số đó sẽ phải thỏa mãn điều kiện nào.
Cách 1: (Biến cố đối)
– Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ 𝐴: 𝑛(Ω) = C_20^3 = 1140.
– Gọi 𝐵 là biến cố ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp thì B ̅  là biến cố ba số được chọn có 3 số tự nhiên liên tiếp hoặc có 2 số tự nhiên liên tiếp.
– Xét các trường hợp xảy ra của biến cố  B ̅
Trường hợp 1: Chọn 3 chữ số tự nhiên liên tiếp.
+ Có 18 cách chọn là: {1,2,3},{2,3,4},… , {18,19,20}.
Trường hợp 2: Chọn 3 số có đúng 2 số liên tiếp.
*) Chọn 1 trong hai phần tử {1;19}: 2 cách.
+ Với mỗi cách chọn phần tử trên, ta có 1 cách chọn phần tử liền sau đó.
+ Chọn phần tử thứ ba không liên tiếp với 2 phần tử đã chọn: 17 cách (vì phải bỏ đi phần tử liền sau phần tử thứ 2).
*) Chọn 1 phần tử trong tập {2;3;4;…;18}: 17 cách.
+ Với mỗi cách chọn trên, ta có 1 cách chọn phần tử thứ hai liền sau nó.
+ Để chọn phần tử thứ 3 không liên tiếp, ta cần bỏ đi phần tử liền trước phần tử 1 và liền sau phần tử 2: 16 cách.
Suy ra có 17.2 + 17.16 = 306 cách chọn 3 phần tử có đúng hai chữ số liên tiếp.
– Số kết quả thuận lợi cho biến cố 𝐵 là: 𝑛(𝐵) = 18 + 306 = 324. – Xác suất của biến cố 𝐵 là:

Cách 2. (Trực tiếp)
– Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ 𝐴: 𝑛(Ω) = C_20^3 = 1140.
– Gọi 𝐵 là biến cố ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
– Giả sử ta tìm được các số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 sao cho trong ba số đó không có hai số tự nhiên liên tiếp. Không mất tính tổng quát, giả sử 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 . Vì ba số đó không liên tiếp nên: